Sözlük Duvar Satranç
← Matematiksel Derinlik
Seriler · İspat

Basel Problemi

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} $$

Basel Problemi, 1644'te Pietro Mengoli tarafından ortaya atılmış ve 1735'te Leonhard Euler tarafından çözülmüştür. Euler, bu problemi çözerken sonsuz seriler ve polinomların kökleri arasındaki ilişkiyi kullanarak, döneminin en parlak matematikçilerini bile şaşırtan zarif bir ispat sunmuştur. İşte Euler'in yöntemiyle adım adım çözüm:

Adım Adım Çözüm
1 $\sin x$'in sonsuz çarpım gösterimi

Euler'in dehası, $\sin x$ fonksiyonunu bir sonsuz çarpım olarak ifade etmesinde yatar:

$$ \sin x = x \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2} \right) $$

Bu ifade, $\sin x$'in köklerinin $x = n\pi$ olduğu gerçeğinden türetilir. Tıpkı sonlu bir polinomun kökleri cinsinden yazılması gibi, $\sin x$ de kökleri cinsinden bu şekilde ifade edilebilir.

2 Her iki tarafı $x$'e böl

$\sin x$'in çarpım gösteriminde her iki tarafı $x$'e bölelim:

$$ \frac{\sin x}{x} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2} \right) $$
3 Maclaurin serisini aç

$\sin x$'in Maclaurin serisi açılımını hatırlayalım:

$$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots $$

Her iki tarafı $x$'e bölelim:

$$ \frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \frac{x^6}{5040} + \cdots $$
4 Çarpımı aç ve $x^2$'li terimi bul

Şimdi çarpım ifadesini açalım. $x^2$'li terim, her bir faktörden gelen $-x^2/(n^2\pi^2)$ terimlerinin toplamıdır:

$$ \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2} \right) = 1 - \left( \frac{1}{1^2\pi^2} + \frac{1}{2^2\pi^2} + \frac{1}{3^2\pi^2} + \cdots \right) x^2 + \cdots $$

Yani:

$$ \frac{\sin x}{x} = 1 - \left( \frac{1}{\pi^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \right) x^2 + \cdots $$
5 Katsayıları karşılaştır

Artık iki farklı ifadeden elde ettiğimiz $\sin x / x$ açılımlarının $x^2$'li terimlerinin katsayılarını karşılaştırabiliriz:

$$ -\frac{1}{6} = -\frac{1}{\pi^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $$

Her iki tarafı $-1$ ile çarpalım:

$$ \frac{1}{6} = \frac{1}{\pi^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $$
6 Sonuca ulaş

Her iki tarafı $\pi^2$ ile çarpalım:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} $$
Sonuç
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} $$

Euler'in bu çözümü, o dönemde matematik dünyasında büyük bir yankı uyandırmıştır. Çünkü $\pi$ sayısı, bir serinin toplamı olarak karşımıza çıkmıştır. Bu ispat, aynı zamanda Riemann Zeta Fonksiyonu'nun $\zeta(2)$ değerini vermesi açısından da tarihsel öneme sahiptir. Euler daha sonra bu yöntemi genelleştirerek $\zeta(4) = \pi^4/90$, $\zeta(6) = \pi^6/945$ gibi sonuçlar da elde etmiştir.