Şekil 1: Basit sarkaç - L: ip uzunluğu, m: kütle, θ: düşeyle yapılan açı, mg sinθ: teğetsel kuvvet
🪨 Fiziksel Model: Newton'un İkinci Yasası
Basit sarkaç, bir ipin ucuna bağlanmış bir kütle (m)'den oluşur. İp uzunluğu $L$, yerçekimi ivmesi $g$'dir. Kütle salınım hareketi yapar.
Newton'un ikinci yasasına göre, teğetsel yöndeki kuvvet:
$$ F_{teğet} = -mg \sin\theta = m L \frac{d^2\theta}{dt^2} $$
Burada:
- $\theta$: düşey eksenle yapılan açı (radyan)
- $-mg \sin\theta$: geri çağırıcı kuvvet (denge konumuna döndüren kuvvet)
- $L \frac{d^2\theta}{dt^2}$: teğetsel ivme
Denklemi düzenlersek:
$$ \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L} \sin\theta = 0 $$
📐 KÜÇÜK AÇI YAKLAŞIMI (Small Angle Approximation)
$\theta$ küçük iken ($\theta < 15^\circ \approx 0.26$ rad), $\sin\theta \approx \theta$ alınabilir. Bu durumda denklem lineer hale gelir:
$$ \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L} \theta = 0 $$
Bu, basit harmonik hareket denklemidir. Artık kütle-yay sistemindeki ile aynı matematiksel yapıya sahiptir ($m\ddot{x} + kx = 0$).
🔧 TANIMLAR
Doğal frekans: $\omega_0 = \sqrt{\dfrac{g}{L}}$ (rad/s)
Periyot: $T = \dfrac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$ (saniye)
Frekans: $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{g}{L}}$ (Hz)
Not: Periyot, kütleden ($m$) bağımsızdır! Sadece ip uzunluğu $L$ ve yerçekimi $g$'ye bağlıdır.
📈 Sönümsüz Sarkaç ($c=0$)
Denklem: $\ddot{\theta} + \omega_0^2 \theta = 0$
1
Karakteristik denklem: $r^2 + \omega_0^2 = 0$ ⇒ $r = \pm i\omega_0$
2
Genel çözüm: $\theta(t) = A \cos(\omega_0 t) + B \sin(\omega_0 t)$
3
Genlik ve faz formu: $\theta(t) = \Theta \cos(\omega_0 t - \phi)$
Burada $\Theta = \sqrt{A^2 + B^2}$ (maksimum açı), $\phi = \arctan(B/A)$ (faz açısı)
📉 Sönümlü Sarkaç (Hava Direnci ile)
Hava direnci veya sürtünme varsa, sönüm kuvveti $-c\frac{d\theta}{dt}$ eklenir ($c > 0$):
$$ \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{c}{mL^2}\frac{d\theta}{dt} + \frac{g}{L}\theta = 0 $$
Veya standart formda: $\ddot{\theta} + 2\zeta\omega_0\dot{\theta} + \omega_0^2 \theta = 0$
Burada $\zeta$ sönüm oranıdır. Kütle-yay sistemindeki gibi 3 durum vardır:
🔴 SÖNÜM DURUMLARI
Az sönümlü ($\zeta < 1$): $\theta(t) = e^{-\zeta\omega_0 t}(A\cos\omega_d t + B\sin\omega_d t)$
Kritik sönümlü ($\zeta = 1$): $\theta(t) = (A + Bt)e^{-\omega_0 t}$
Çok sönümlü ($\zeta > 1$): $\theta(t) = A e^{r_1 t} + B e^{r_2 t}$
$\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2}$ (sönümlü frekans)
📝 Örnek 1: Sönümsüz Basit Sarkaç
a)Diferansiyel denklemi yazınız.
b)Doğal frekans $\omega_0$'ı hesaplayınız.
c)Periyot $T$'yi hesaplayınız.
d)$\theta(t)$ açı fonksiyonunu bulunuz ($\theta$ radyan cinsinden).
✅ ÇÖZÜM
a) $\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\theta = 0$ ⇒ $\ddot{\theta} + \frac{9.8}{2}\theta = 0$ ⇒ $\boxed{\ddot{\theta} + 4.9\theta = 0}$
b) $\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{L}} = \sqrt{\frac{9.8}{2}} = \sqrt{4.9} \approx \boxed{2.214 \text{ rad/s}}$
c) $T = \frac{2\pi}{\omega_0} = \frac{2\pi}{2.214} \approx \boxed{2.837 \text{ s}}$
d) $\theta(t) = A\cos(\omega_0 t) + B\sin(\omega_0 t)$
$\theta(0) = 10^\circ = 10 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{18} \approx 0.1745$ rad ⇒ $A = 0.1745$
$\dot{\theta}(t) = -A\omega_0\sin(\omega_0 t) + B\omega_0\cos(\omega_0 t)$, $\dot{\theta}(0) = B\omega_0 = 0$ ⇒ $B = 0$
$\boxed{\theta(t) = 0.1745\cos(2.214t) \text{ rad}}$
📝 Örnek 2: Sarkaç Periyodu ve Uzunluk
a)Sarkaç periyodunu veren formülü yazınız.
b)$L$'yi hesaplayınız.
c)Aynı sarkacın frekansı $f$ kaç Hz'dir?
d)Ayda $g=1.62$ m/s² olsaydı, aynı sarkacın periyodu ne olurdu?
✅ ÇÖZÜM
a) $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$
b) $T^2 = 4\pi^2 \frac{L}{g}$ ⇒ $L = \frac{g T^2}{4\pi^2}$
$L = \frac{9.8 \times 4}{4\pi^2} = \frac{39.2}{39.478} \approx \boxed{0.993 \text{ m}}$
c) $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2} = \boxed{0.5 \text{ Hz}}$
d) $T_{ay} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g_{ay}}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.993}{1.62}} = 2\pi\sqrt{0.613} = 2\pi \times 0.783 = \boxed{4.92 \text{ s}}$
📝 Örnek 3: Az Sönümlü Sarkaç
a)$\omega_0$, $\zeta$, $\omega_d$'yi hesaplayınız. Hangi durum?
b)$\theta(t)$ açı fonksiyonunu bulunuz.
✅ ÇÖZÜM
a) $\omega_0^2 = 4$ ⇒ $\omega_0 = 2$ rad/s
$2\zeta\omega_0 = 0.2$ ⇒ $2\zeta \times 2 = 0.2$ ⇒ $4\zeta = 0.2$ ⇒ $\zeta = 0.05$
$\zeta = 0.05 < 1$ ⇒ Az sönümlü (underdamped)
$\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2} = 2\sqrt{1 - 0.0025} = 2 \times 0.99875 \approx \boxed{1.9975 \text{ rad/s}}$
b) $\theta(t) = e^{-\zeta\omega_0 t}(A\cos\omega_d t + B\sin\omega_d t) = e^{-0.1t}(A\cos 1.9975t + B\sin 1.9975t)$
$\theta(0)=0.1$ ⇒ $A = 0.1$
$\dot{\theta}(t) = -0.1e^{-0.1t}(A\cos... + B\sin...) + e^{-0.1t}(-1.9975A\sin... + 1.9975B\cos...)$
$\dot{\theta}(0) = -0.1A + 1.9975B = 0$ ⇒ $1.9975B = 0.01$ ⇒ $B \approx 0.005006$
$\boxed{\theta(t) = e^{-0.1t}(0.1\cos 1.9975t + 0.005\sin 1.9975t) \text{ rad}}$
📝 Örnek 4: Periyot Kütleden Bağımsızdır
a)Her iki sarkacın periyotlarını hesaplayınız.
b)Periyotların kütleye bağlı olmadığını gösteriniz.
✅ ÇÖZÜM
a) $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{1}{9.8}} = 2\pi\sqrt{0.10204} = 2\pi \times 0.3194 = \boxed{2.007 \text{ s}}$
Her iki kütle için de periyot aynıdır! Kütle $m$ formülde yoktur.
b) Çünkü geri çağırıcı kuvvet $F = -mg\sin\theta$ ile kütle $m$ doğru orantılıdır. Newton'un ikinci yasası $F = m a$ olduğu için $m$'ler sadeleşir:
$-mg\sin\theta = m L \ddot{\theta}$ ⇒ $-g\sin\theta = L \ddot{\theta}$ ⇒ $\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\theta = 0$
Görüldüğü gibi $m$ denklemden tamamen kaybolur. Bu nedenle periyot kütleden bağımsızdır!
📋 FORMÜL ÖZETİ
🔴 Genel Denklem (Büyük Açı)
$\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0$
Lineer değil, analitik çözüm yok
🟢 Küçük Açı (Lineer)
$\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\theta = 0$
$\omega_0 = \sqrt{g/L}$, $T = 2\pi\sqrt{L/g}$
🟡 Sönümlü Sarkaç
$\ddot{\theta} + 2\zeta\omega_0\dot{\theta} + \omega_0^2\theta = 0$
$\zeta = \frac{c}{2mL^2\omega_0}$
🔵 Çözümler
Sönümsüz: $\theta(t) = A\cos\omega_0 t + B\sin\omega_0 t$
Az sönümlü: $\theta(t) = e^{-\zeta\omega_0 t}(A\cos\omega_d t + B\sin\omega_d t)$
Kritik: $\theta(t) = (A + Bt)e^{-\omega_0 t}$
Çok sönümlü: $\theta(t) = A e^{r_1 t} + B e^{r_2 t}$
⏱️ ÖNEMLİ NOTLAR: Periyot kütleden bağımsızdır! |
Küçük açı yaklaşımı ($\theta < 15^\circ$) geçerlidir. |
$T = 2\pi\sqrt{L/g}$ (saniye), $f = 1/T$ (Hz), $\omega_0 = 2\pi f$ (rad/s)
📌 ÖZET
Basit sarkaç, küçük açılar için basit harmonik hareket yapar. Periyot $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ formülüyle hesaplanır ve kütleden bağımsızdır. Bu Galileo'nun Pisa Katedrali'nde yaptığı deneylerle keşfettiği önemli bir sonuçtur. Hava direnci varsa sönümlü harmonik hareket oluşur.
← Diferansiyel Denklemler Sayfasına Dön