e Sayısının Seri Açılımı | Matematiksel Derinlik

Adım Adım Çözüm

1 $f(x) = e^x$ fonksiyonundan başla

$e^x$ fonksiyonunun en özel özelliği, kendi türevine eşit olmasıdır. Bu özellik, onu Taylor serisiyle açmak için ideal bir aday yapar.

$$ f(x) = e^x \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = f''(x) = f'''(x) = \cdots = e^x $$

2 Maclaurin serisini yaz

Bir fonksiyonun $x=0$ etrafındaki Taylor açılımı (Maclaurin serisi), türevlerinin $0$ noktasındaki değerleri kullanılarak yazılır: $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$.

$$ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \, x^n $$

3 Türevleri $x=0$ noktasında hesapla

Her mertebeden türev $e^x$'e eşit olduğundan, $x=0$ noktasında hepsi aynı değeri, yani $e^0 = 1$'i verir. Bu, serideki tüm katsayıları büyük ölçüde sadeleştirir.

$$ f^{(n)}(0) = e^0 = 1 \quad \text{her } n \text{ için} $$

4 Katsayıları yerine koy

$f^{(n)}(0) = 1$ sonucunu seri açılımında yerine koyduğumuzda, $e^x$ fonksiyonu için genel açılım elde edilir.

$$ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $$

5 $x = 1$ değerini yerleştir

Elde edilen genel açılım her $x$ değeri için geçerlidir. $x=1$ seçtiğimizde, sol taraf doğrudan $e$ sayısına dönüşür.

$$ e^1 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} $$

6 Terimleri aç

Toplam sembolünü açık terimler halinde yazdığımızda, $0! = 1$ olduğunu hatırlayarak seriyi tanıdık haline getirebiliriz.

$$ e = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots $$

Sonuç

$$ \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots = e $$

Bu seri çok hızlı yakınsar: ilk birkaç terim bile $e \approx 2{,}71828$ değerine oldukça yakın bir yaklaşım verir. Aynı Taylor serisi yaklaşımı, $\sin x$, $\cos x$ gibi diğer temel fonksiyonların da sonsuz seri açılımlarının temelini oluşturur.