Marjinal Analiz & Esneklik
Bu modülde türevin ekonomideki en önemli iki uygulamasını öğreneceğiz:
Marjinal kavramlar (MC, MR) ve talep esnekliği (ε). Her konu çözümlü örneklerle desteklenmiştir.
📈 1. Marjinal Maliyet (Marginal Cost - MC)
Marjinal maliyet, bir birim daha fazla üretmenin toplam maliyete eklediği artıştır. Calculus'ta, toplam maliyet fonksiyonunun türevi olarak hesaplanır.
MC(Q) = TC'(Q) = d(TC)/dQ
Ekonomik yorum: MC, Q birim üretim yapılırken bir sonraki birimi üretmenin maliyetini gösterir.
📘 ÖRNEK 1
Bir firmanın toplam maliyet fonksiyonu TC(Q) = 2Q³ − 5Q² + 10Q + 100 olsun.
Marjinal maliyet fonksiyonunu bulunuz ve Q = 5 birim için marjinal maliyeti hesaplayınız.
Çözüm:
MC(Q) = TC'(Q) = 6Q² − 10Q + 10
Q = 5 için: MC(5) = 6×(25) − 10×5 + 10 = 150 − 50 + 10 = 110 TL
Yorum: 5. birimden 6. birime geçerken maliyet yaklaşık 110 TL artacaktır.
MC(Q) = TC'(Q) = 6Q² − 10Q + 10
Q = 5 için: MC(5) = 6×(25) − 10×5 + 10 = 150 − 50 + 10 = 110 TL
Yorum: 5. birimden 6. birime geçerken maliyet yaklaşık 110 TL artacaktır.
📘 ÖRNEK 2
TC(Q) = 500 + 30Q + 0.5Q² fonksiyonu veriliyor.
Q = 100 birim için marjinal maliyeti bulunuz ve ortalama maliyetle karşılaştırınız.
Çözüm:
MC(Q) = TC'(Q) = 30 + Q
MC(100) = 30 + 100 = 130 TL
Ortalama maliyet: AC(100) = TC(100)/100 = (500 + 3000 + 5000)/100 = 8500/100 = 85 TL
MC(100)=130 > AC(100)=85 olduğu için ortalama maliyet artmaya başlamıştır.
MC(Q) = TC'(Q) = 30 + Q
MC(100) = 30 + 100 = 130 TL
Ortalama maliyet: AC(100) = TC(100)/100 = (500 + 3000 + 5000)/100 = 8500/100 = 85 TL
MC(100)=130 > AC(100)=85 olduğu için ortalama maliyet artmaya başlamıştır.
💰 2. Marjinal Gelir (Marginal Revenue - MR)
Marjinal gelir, bir birim daha fazla satmanın toplam gelire eklediği artıştır. Toplam gelir fonksiyonunun türevidir.
MR(Q) = TR'(Q) = d(TR)/dQ
📌 Önemli Kural: Talep eğrisi aşağı eğimli olduğunda (P = a − bQ),
MR eğrisi talep eğrisinin iki katı eğime sahiptir.
TR = (a − bQ)×Q = aQ − bQ² ⇒ MR = a − 2bQ
TR = (a − bQ)×Q = aQ − bQ² ⇒ MR = a − 2bQ
📘 ÖRNEK 3
Talep fonksiyonu P = 120 − 4Q olan bir ürün için toplam gelir ve marjinal gelir fonksiyonlarını bulunuz.
Q = 10 birim için MR'ı hesaplayınız.
Çözüm:
TR(Q) = P × Q = (120 − 4Q) × Q = 120Q − 4Q²
MR(Q) = TR'(Q) = 120 − 8Q
Q = 10 için: MR(10) = 120 − 80 = 40 TL
Yorum: 10. birimden 11. birime geçerken gelir 40 TL artacaktır.
TR(Q) = P × Q = (120 − 4Q) × Q = 120Q − 4Q²
MR(Q) = TR'(Q) = 120 − 8Q
Q = 10 için: MR(10) = 120 − 80 = 40 TL
Yorum: 10. birimden 11. birime geçerken gelir 40 TL artacaktır.
📘 ÖRNEK 4
Bir firma ürününü sabit fiyat olan 75 TL'den satmaktadır.
Marjinal gelir fonksiyonunu bulunuz ve Q = 50 için yorumlayınız.
Çözüm:
P = 75 (sabit) ⇒ TR(Q) = 75Q
MR(Q) = 75 (sabit)
MR(50) = 75 TL
Yorum: Tam rekabet piyasasında fiyat sabit olduğu için MR = P'dir. Her bir ek birim satıştan elde edilen gelir 75 TL'dir.
P = 75 (sabit) ⇒ TR(Q) = 75Q
MR(Q) = 75 (sabit)
MR(50) = 75 TL
Yorum: Tam rekabet piyasasında fiyat sabit olduğu için MR = P'dir. Her bir ek birim satıştan elde edilen gelir 75 TL'dir.
🎈 3. Talep Esnekliği (Price Elasticity of Demand - ε)
Fiyat esnekliği, fiyattaki %1'lik değişime talebin verdiği % tepkidir. Talebin fiyat değişimlerine ne kadar duyarlı olduğunu ölçer.
ε = (dQ/dP) × (P/Q)
Yorumlama (|ε| değerine göre):
- |ε| > 1 → Esnek talep (Elastic): Fiyat değişimine duyarlı. Fiyat düşerse toplam gelir artar.
- |ε| < 1 → Esnek olmayan talep (Inelastic): Fiyat değişimine duyarsız. Fiyat düşerse toplam gelir azalır.
- |ε| = 1 → Birim esnek (Unit elastic): Fiyat değişimi toplam geliri etkilemez.
📘 ÖRNEK 5
Talep fonksiyonu Q = 200 − 5P olarak veriliyor.
P = 10 TL fiyatında talebin fiyat esnekliğini hesaplayınız ve yorumlayınız.
Çözüm:
Q = 200 − 5P ⇒ dQ/dP = −5
P = 10 için: Q = 200 − 5×10 = 150
ε = (dQ/dP) × (P/Q) = (−5) × (10/150) = −5 × (1/15) = −1/3 ≈ −0.33
|ε| = 0.33 < 1 ⇒ Esnek olmayan talep (inelastik)
Yorum: Fiyat %1 artarsa talep sadece %0.33 azalır. Fiyat artışı toplam geliri artırır.
Q = 200 − 5P ⇒ dQ/dP = −5
P = 10 için: Q = 200 − 5×10 = 150
ε = (dQ/dP) × (P/Q) = (−5) × (10/150) = −5 × (1/15) = −1/3 ≈ −0.33
|ε| = 0.33 < 1 ⇒ Esnek olmayan talep (inelastik)
Yorum: Fiyat %1 artarsa talep sadece %0.33 azalır. Fiyat artışı toplam geliri artırır.
📘 ÖRNEK 6
Bir ürünün talep fonksiyonu P = 100 − 2Q şeklindedir.
Q = 20 birim için fiyat esnekliğini bulunuz.
Çözüm:
P = 100 − 2Q ⇒ Q = 50 − 0.5P (Q cinsinden yazalım)
dQ/dP = −0.5
Q = 20 için: P = 100 − 2×20 = 60
ε = (dQ/dP) × (P/Q) = (−0.5) × (60/20) = −0.5 × 3 = −1.5
|ε| = 1.5 > 1 ⇒ Esnek talep
Yorum: Fiyat %1 düşerse talep %1.5 artar. Fiyat indirimi toplam geliri artırır.
P = 100 − 2Q ⇒ Q = 50 − 0.5P (Q cinsinden yazalım)
dQ/dP = −0.5
Q = 20 için: P = 100 − 2×20 = 60
ε = (dQ/dP) × (P/Q) = (−0.5) × (60/20) = −0.5 × 3 = −1.5
|ε| = 1.5 > 1 ⇒ Esnek talep
Yorum: Fiyat %1 düşerse talep %1.5 artar. Fiyat indirimi toplam geliri artırır.
📘 ÖRNEK 7
Q = 500 − 0.2P talep fonksiyonu için esnekliğin |ε| = 1 olduğu noktayı (P ve Q) bulunuz.
Çözüm:
dQ/dP = −0.2
|ε| = |(dQ/dP) × (P/Q)| = |−0.2 × (P/Q)| = 1 ⇒ 0.2 × (P/Q) = 1 ⇒ P/Q = 5 ⇒ P = 5Q
Talep denkleminde P = 5Q yazalım: Q = 500 − 0.2×(5Q) = 500 − Q ⇒ 2Q = 500 ⇒ Q = 250
P = 5×250 = 1250
Yorum: P=1250, Q=250 noktasında esneklik birim esnektir (|ε|=1).
dQ/dP = −0.2
|ε| = |(dQ/dP) × (P/Q)| = |−0.2 × (P/Q)| = 1 ⇒ 0.2 × (P/Q) = 1 ⇒ P/Q = 5 ⇒ P = 5Q
Talep denkleminde P = 5Q yazalım: Q = 500 − 0.2×(5Q) = 500 − Q ⇒ 2Q = 500 ⇒ Q = 250
P = 5×250 = 1250
Yorum: P=1250, Q=250 noktasında esneklik birim esnektir (|ε|=1).
📊 4. Marjinal Gelir ve Esneklik İlişkisi
Marjinal gelir (MR) ile talep esnekliği (ε) arasında önemli bir ilişki vardır:
MR = P × (1 + 1/ε) (ε negatif olduğu için)
Bu formül sayesinde:
- |ε| > 1 (esnek) ise MR > 0 → Gelir artıyordur
- |ε| < 1 (esnek değil) ise MR < 0 → Gelir azalıyordur
- |ε| = 1 ise MR = 0 → Gelir maksimumdur
📘 ÖRNEK 8
Bir ürünün fiyatı 80 TL, talep esnekliği ε = −2'dir.
Marjinal geliri bulunuz ve yorumlayınız.
Çözüm:
MR = P × (1 + 1/ε) = 80 × (1 + 1/(−2)) = 80 × (1 − 0.5) = 80 × 0.5 = 40 TL
Yorum: |ε|=2>1 olduğu için MR pozitiftir. Satışları artırmak toplam geliri artırır.
MR = P × (1 + 1/ε) = 80 × (1 + 1/(−2)) = 80 × (1 − 0.5) = 80 × 0.5 = 40 TL
Yorum: |ε|=2>1 olduğu için MR pozitiftir. Satışları artırmak toplam geliri artırır.
📘 ÖRNEK 9
P = 50 TL, ε = −0.5 ise MR'ı hesaplayınız. Fiyat indirimi yapılmalı mıdır?
Çözüm:
MR = 50 × (1 + 1/(−0.5)) = 50 × (1 − 2) = 50 × (−1) = −50 TL
Yorum: MR negatif olduğu için fiyat düşüşü toplam geliri azaltır. |ε|=0.5<1 (esnek değil) olduğundan fiyat indirimi YAPILMAMALIDIR, hatta fiyat artırılmalıdır.
MR = 50 × (1 + 1/(−0.5)) = 50 × (1 − 2) = 50 × (−1) = −50 TL
Yorum: MR negatif olduğu için fiyat düşüşü toplam geliri azaltır. |ε|=0.5<1 (esnek değil) olduğundan fiyat indirimi YAPILMAMALIDIR, hatta fiyat artırılmalıdır.
📋 Formül Özeti
| Kavram | Sembol | Formül |
|---|---|---|
| Marjinal Maliyet | MC | TC'(Q) |
| Marjinal Gelir | MR | TR'(Q) |
| Fiyat Esnekliği | ε | (dQ/dP) × (P/Q) |
| MR-Esneklik | MR | P × (1 + 1/ε) |
📌 Bir sonraki modülde (03): Kâr maksimizasyonu, maliyet minimizasyonu ve optimizasyon problemlerini (birinci ve ikinci mertebe koşullar) öğreneceğiz.