İntegral Uygulamaları

Bu modülde integralin ekonomideki önemli uygulamalarını öğreneceğiz: Tüketici fazlası, üretici fazlası, Gini katsayısı ve bugünkü değer (present value).

∫ 0. İntegral Hatırlatma

İntegral, bir eğrinin altında kalan alanı hesaplar. Belirli integral ∫_a^b f(x) dx, x=a ile x=b arasında f(x) eğrisinin altındaki alanı verir.

📌 Temel İntegral Kuralları:

• ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ -1)

• ∫ (1/x) dx = ln|x| + C

• ∫ eˣ dx = eˣ + C

• ∫ e^{kx} dx = (1/k)·e^{kx} + C

• ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a) (F, f'nin integrali)

🛒 1. Tüketici Fazlası (Consumer Surplus - CS)

Tüketici fazlası, tüketicilerin bir mal için ödemeye razı oldukları fiyat ile gerçekte ödedikleri fiyat arasındaki farkın toplamıdır.

CS = ∫₀^Q* [P_d(Q) − P*] dQ

P_d(Q) = talep fonksiyonu (fiyat), P* = denge fiyatı, Q* = denge miktarı

📘 ÖRNEK 1

Talep fonksiyonu P = 100 − 2Q ve denge noktası P* = 40, Q* = 30 olarak veriliyor. Tüketici fazlasını hesaplayınız.

Çözüm:

CS = ∫₀³⁰ [(100 − 2Q) − 40] dQ

CS = ∫₀³⁰ (60 − 2Q) dQ

CS = [60Q − Q²]₀³⁰

CS = (60×30 − 30²) − (0)

CS = (1800 − 900) = 900 TL

📘 ÖRNEK 2

Talep fonksiyonu Q_d = 200 − 5P ve arz fonksiyonu Q_s = 20 + 3P olsun. Denge noktasını bulunuz ve tüketici fazlasını hesaplayınız.

Çözüm:

Adım 1 - Denge noktası: 200 − 5P = 20 + 3P ⇒ 180 = 8P ⇒ P* = 22.5 TL

Q* = 200 − 5×22.5 = 200 − 112.5 = 87.5 birim

Adım 2 - Talep fonksiyonunu P cinsinden yazalım: Q = 200 − 5P ⇒ P = 40 − 0.2Q

Adım 3 - CS integrali: CS = ∫₀^87.5 [(40 − 0.2Q) − 22.5] dQ

CS = ∫₀^87.5 (17.5 − 0.2Q) dQ

CS = [17.5Q − 0.1Q²]₀^87.5

CS = (17.5×87.5) − (0.1×7656.25) = 1531.25 − 765.625 = 765.625 TL

🏭 2. Üretici Fazlası (Producer Surplus - PS)

Üretici fazlası, üreticilerin bir malı sattıkları fiyat ile kabul edebilecekleri minimum fiyat arasındaki farkın toplamıdır.

PS = ∫₀^Q* [P* − P_s(Q)] dQ

P_s(Q) = arz fonksiyonu (ters çevrilmiş), P* = denge fiyatı, Q* = denge miktarı

📘 ÖRNEK 3

Arz fonksiyonu P = 2Q + 10 ve denge noktası P* = 50, Q* = 20 olarak veriliyor. Üretici fazlasını hesaplayınız.

Çözüm:

PS = ∫₀²⁰ [50 − (2Q + 10)] dQ

PS = ∫₀²⁰ (40 − 2Q) dQ

PS = [40Q − Q²]₀²⁰

PS = (800 − 400) − 0 = 400 TL

📘 ÖRNEK 4

Örnek 2'deki arz fonksiyonu Q_s = 20 + 3P için üretici fazlasını hesaplayınız. (Denge: P* = 22.5, Q* = 87.5)

Çözüm:

Adım 1 - Arz fonksiyonunu P cinsinden yazalım: Q = 20 + 3P ⇒ P = (Q − 20)/3

Adım 2 - PS integrali: PS = ∫₀^87.5 [22.5 − (Q − 20)/3] dQ

PS = ∫₀^87.5 [22.5 − Q/3 + 20/3] dQ

22.5 + 20/3 = 22.5 + 6.667 = 29.167

PS = ∫₀^87.5 (29.167 − Q/3) dQ

PS = [29.167Q − Q²/6]₀^87.5

PS = (29.167×87.5) − (7656.25/6) = 2552.1 − 1276.04 = 1276.06 TL

🌍 3. Toplam Sosyal Refah (Total Surplus)

Toplam Refah = CS + PS

📘 ÖRNEK 5

Örnek 2 ve Örnek 4'teki talep ve arz fonksiyonları için toplam sosyal refahı bulunuz.

Çözüm:

CS = 765.625 TL, PS = 1276.06 TL

Toplam Refah = 765.625 + 1276.06 = 2041.685 TL

📊 4. Gini Katsayısı (Gini Coefficient)

Gini katsayısı, gelir dağılımı eşitsizliğini ölçer. 0 (tam eşitlik) ile 1 (tam eşitsizlik) arasında değer alır.

G = 2 × ∫₀¹ [x − L(x)] dx

L(x) = Lorenz eğrisi (nüfusun en yoksul x kesrinin toplam gelirden aldığı pay)

📘 ÖRNEK 6

Lorenz eğrisi L(x) = x² ile veriliyor. Gini katsayısını hesaplayınız.

Çözüm:

G = 2 × ∫₀¹ [x − x²] dx

G = 2 × [x²/2 − x³/3]₀¹

G = 2 × [(1/2 − 1/3) − 0] = 2 × (1/6) = 1/3 ≈ 0.333

Yorum: Orta düzeyde gelir eşitsizliği.

📘 ÖRNEK 7

Lorenz eğrisi L(x) = x³ olan bir ülke için Gini katsayısını bulunuz.

Çözüm:

G = 2 × ∫₀¹ [x − x³] dx

G = 2 × [x²/2 − x⁴/4]₀¹

G = 2 × [(1/2 − 1/4) − 0] = 2 × (1/4) = 0.5

Yorum: G = 0.5, yüksek düzeyde gelir eşitsizliği.

💰 5. Bugünkü Değer (Present Value - PV)

Bugünkü değer, gelecekte elde edilecek bir gelirin bugünkü değeridir. Sürekli gelir akışı için integral kullanılır.

PV = ∫₀^T S(t) · e^-rt dt

S(t) = t zamanındaki gelir akışı, r = faiz oranı, T = zaman

📘 ÖRNEK 8

Yıllık sabit gelir S(t) = 5000 TL, faiz oranı r = 0.05 (%5), 10 yıl boyunca gelir akışının bugünkü değerini hesaplayınız.

Çözüm:

PV = ∫₀¹⁰ 5000·e^-0.05t dt

PV = 5000 × [e^-0.05t / (-0.05)]₀¹⁰

PV = 5000 × (-20) × [e^-0.5 − e⁰]

PV = -100000 × (0.6065 − 1) = -100000 × (-0.3935) = 39,350 TL

📘 ÖRNEK 9 (Sonsuz gelir akışı)

Yıllık sabit gelir S = 10,000 TL, faiz oranı r = 0.10 (%10) ise sonsuza kadar devam eden gelir akışının bugünkü değerini hesaplayınız.

Çözüm:

PV = ∫₀^∞ 10000·e^-0.1t dt

PV = 10000 × lim_b→∞ [e^-0.1t / (-0.1)]₀^b

PV = 10000 × (-10) × lim_b→∞ (e^-0.1b − 1)

PV = -100000 × (0 − 1) = 100,000 TL

Not: Sonsuz gelir akışında PV = S / r formülü de kullanılabilir: 10000 / 0.10 = 100,000 TL

📋 Formül Özeti

Kavram	Formül
Tüketici Fazlası (CS)	CS = ∫₀^Q* [P_d(Q) − P*] dQ
Üretici Fazlası (PS)	PS = ∫₀^Q* [P* − P_s(Q)] dQ
Toplam Sosyal Refah	CS + PS
Gini Katsayısı	G = 2 × ∫₀¹ [x − L(x)] dx
Bugünkü Değer (PV)	PV = ∫₀^T S(t)·e^-rt dt

📌 Bir sonraki modülde (05): Arz-talep dengesi, piyasa analizi ve toplam refah optimizasyonunu öğreneceğiz.