05 - Denge Analizi | Ekonomistler için Calculus

⚖️ 0. Denge Fiyatı ve Denge Miktarı Nasıl Bulunur?

Piyasa dengesi, arz edilen miktarın talep edilen miktara eşit olduğu noktadır. Bu noktada ne fazla üretim (stok) ne de kıtlık (eksiklik) vardır. Piyasa "temizlenir".

📌 Denge koşulu: Q_d = Q_s veya P_d = P_s

Adım adım denge bulma yöntemi:

Adım 1: Talep fonksiyonunu ve arz fonksiyonunu belirleyin.

Adım 2: Fonksiyonlar aynı formda olmalı. İkisi de Q = f(P) (miktar fiyatın fonksiyonu) veya ikisi de P = f(Q) (fiyat miktarın fonksiyonu) şeklinde olsun.

Adım 3: Q_d = Q_s (veya P_d = P_s) eşitliğini yazın.

Adım 4: Denklemi çözerek denge fiyatını (P*) (veya denge miktarını) bulun.

Adım 5: Bulduğunuz değeri talep (veya arz) fonksiyonunda yerine koyarak diğer denge değerini bulun.

📘 ÖRNEK 0A (Q = f(P) formunda)

Talep fonksiyonu Q_d = 120 − 4P ve arz fonksiyonu Q_s = 20 + 6P olarak veriliyor. Denge fiyatını ve denge miktarını bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Fonksiyonlar zaten Q = f(P) formunda.

Adım 2: Denge koşulu: Q_d = Q_s

Adım 3: 120 − 4P = 20 + 6P

Adım 4: 120 − 20 = 6P + 4P ⇒ 100 = 10P ⇒ P* = 10 TL

Adım 5: Q* = 120 − 4×10 = 120 − 40 = 80 birim

Kontrol: Q* = 20 + 6×10 = 20 + 60 = 80 birim ✓

📘 ÖRNEK 0B (P = f(Q) formunda)

Talep fonksiyonu P = 100 − 2Q ve arz fonksiyonu P = 10 + 3Q olarak veriliyor. Denge fiyatını ve denge miktarını bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Fonksiyonlar P = f(Q) formunda.

Adım 2: Denge koşulu: P_d = P_s

Adım 3: 100 − 2Q = 10 + 3Q

Adım 4: 100 − 10 = 3Q + 2Q ⇒ 90 = 5Q ⇒ Q* = 18 birim

Adım 5: P* = 100 − 2×18 = 100 − 36 = 64 TL

Kontrol: P* = 10 + 3×18 = 10 + 54 = 64 TL ✓

⚠️ Önemli Uyarı: Bazen talep Q = a − bP, arz ise P = c + dQ gibi farklı formlarda verilebilir. Bu durumda önce birini diğer forma dönüştürmeniz gerekir. Örneğin:

• Eğer talep Q = a − bP ve arz P = c + dQ ise, arz denklemindeki P'yi talep denkleminde yerine koyun.

• Veya talep denklemini P cinsinden yazıp arzla eşitleyin.

📘 ÖRNEK 0C (Farklı formda verilen fonksiyonlar)

Talep fonksiyonu Q_d = 80 − 2P ve arz fonksiyonu P = 10 + 3Q olarak veriliyor. Denge fiyatını ve denge miktarını bulunuz.

Çözüm (1. Yöntem - Yerine koyma):

Talep: Q = 80 − 2P

Arz: P = 10 + 3Q

Arzdaki P'yi talep denkleminde yerine koyalım: Q = 80 − 2(10 + 3Q)

Q = 80 − 20 − 6Q

Q + 6Q = 60 ⇒ 7Q = 60 ⇒ Q* = 60/7 ≈ 8.57 birim

P* = 10 + 3×(60/7) = 10 + 180/7 = (70 + 180)/7 = 250/7 ≈ 35.71 TL

Çözüm (2. Yöntem - Her iki denklemi P cinsinden yazma):

Talep: Q = 80 − 2P ⇒ P = 40 − 0.5Q

Arz: P = 10 + 3Q

40 − 0.5Q = 10 + 3Q ⇒ 30 = 3.5Q ⇒ Q = 30/3.5 = 60/7, aynı sonuç.

📈 1. Arz ve Talep Fonksiyonları

Talep fonksiyonu (Demand): Fiyat arttıkça talep edilen miktar azalır. (Negatif eğimli)
Arz fonksiyonu (Supply): Fiyat arttıkça arz edilen miktar artar. (Pozitif eğimli)

📌 Genel formlar:

Talep: P = a − bQ veya Q_d = α − βP (a,b,α,β > 0)

Arz: P = c + dQ veya Q_s = γ + δP (c,d,γ,δ > 0)

🛒 2. Tüketici Fazlası (Consumer Surplus - CS)

Tüketici fazlası, tüketicilerin bir mal için ödemeye razı oldukları fiyat ile gerçekte ödedikleri fiyat arasındaki farkın toplamıdır. Denge noktasında, talep eğrisinin altında, denge fiyatının üstünde kalan alandır.

CS = ∫₀^Q* [P_d(Q) − P*] dQ

📘 ÖRNEK 1

Talep fonksiyonu P = 80 − 4Q ve denge noktası (Q*=10, P*=40) için tüketici fazlasını hesaplayınız.

Çözüm:

CS = ∫₀¹⁰ [(80 − 4Q) − 40] dQ

CS = ∫₀¹⁰ (40 − 4Q) dQ

CS = [40Q − 2Q²]₀¹⁰

CS = (400 − 200) − 0 = 200 TL

🏭 3. Üretici Fazlası (Producer Surplus - PS)

Üretici fazlası, üreticilerin bir malı sattıkları fiyat ile kabul edebilecekleri minimum fiyat arasındaki farkın toplamıdır. Denge noktasında, arz eğrisinin üstünde, denge fiyatının altında kalan alandır.

PS = ∫₀^Q* [P* − P_s(Q)] dQ

📘 ÖRNEK 2

Arz fonksiyonu P = 20 + 2Q ve denge noktası (Q*=10, P*=40) için üretici fazlasını hesaplayınız.

Çözüm:

PS = ∫₀¹⁰ [40 − (20 + 2Q)] dQ

PS = ∫₀¹⁰ (20 − 2Q) dQ

PS = [20Q − Q²]₀¹⁰

PS = (200 − 100) − 0 = 100 TL

🌍 4. Toplam Sosyal Refah (Total Surplus)

Toplam sosyal refah, tüketici fazlası ile üretici fazlasının toplamıdır. Rekabetçi piyasalarda denge noktasında toplam refah maksimum olur.

Toplam Refah = CS + PS

📘 ÖRNEK 3

Örnek 1 ve Örnek 2'deki CS ve PS değerlerini kullanarak toplam sosyal refahı bulunuz.

Çözüm:

CS = 200 TL, PS = 100 TL

Toplam Refah = 200 + 100 = 300 TL

Bu, piyasanın yarattığı toplam faydadır.

📉 5. Fiyat Tavanı (Price Ceiling) Analizi

Hükümet bazen fiyatları belirli bir seviyenin altında tutmak için fiyat tavanı uygular. Bu durumda kıtlık (arz < talep) oluşur ve toplam refah azalır.

📘 ÖRNEK 4

Talep: P = 80 − 4Q, Arz: P = 20 + 2Q. Hükümet P_tavan = 30 TL fiyat tavanı koyuyor. Oluşan kıtlık miktarını bulunuz.

Çözüm:

P=30'da talep: 30 = 80 − 4Q ⇒ 4Q = 50 ⇒ Q_d = 12.5 birim

P=30'da arz: 30 = 20 + 2Q ⇒ 2Q = 10 ⇒ Q_s = 5 birim

Kıtlık = Q_d − Q_s = 12.5 − 5 = 7.5 birim

📈 6. Fiyat Tabanı (Price Floor) Analizi

Hükümet bazen fiyatları belirli bir seviyenin üstünde tutmak için fiyat tabanı uygular (örn: asgari ücret, tarım ürünleri). Bu durumda fazlalık (arz > talep) oluşur.

📘 ÖRNEK 5

Talep: P = 80 − 4Q, Arz: P = 20 + 2Q. Hükümet P_taban = 50 TL fiyat tabanı koyuyor. Oluşan fazlalık miktarını bulunuz.

Çözüm:

P=50'de talep: 50 = 80 − 4Q ⇒ 4Q = 30 ⇒ Q_d = 7.5 birim

P=50'de arz: 50 = 20 + 2Q ⇒ 2Q = 30 ⇒ Q_s = 15 birim

Fazlalık = Q_s − Q_d = 15 − 7.5 = 7.5 birim

💰 7. Vergi Analizi (Tax Incidence)

Birim başına t vergisi konulduğunda, vergi yükü tüketici ve üretici arasında paylaşılır. Vergi sonrası denge noktası değişir ve toplam refah azalır.

📘 ÖRNEK 6

Talep: Q_d = 100 − 2P, Arz: Q_s = 20 + 3P. Üreticiden alınan birim vergi t=5 TL. Vergi sonrası denge fiyatını, miktarını ve refah kaybını bulunuz.

Çözüm:

Adım 1 - Vergi öncesi denge: 100 − 2P = 20 + 3P ⇒ 80 = 5P ⇒ P₀=16, Q₀=68

Adım 2 - Vergi sonrası arz: Q_s = 20 + 3(P − 5) = 5 + 3P

Adım 3 - Yeni denge: 100 − 2P = 5 + 3P ⇒ 95 = 5P ⇒ P* = 19 TL

Q* = 100 − 2×19 = 62 birim

Adım 4 - Refah kaybı (DWL): DWL = ½ × t × (Q₀ − Q*) = ½ × 5 × 6 = 15 TL

🎁 8. Sübvansiyon Analizi (Subsidy)

Sübvansiyon, devletin üreticiye veya tüketiciye verdiği birim başına destek ödemesidir. Verginin tersi etki yapar: denge miktarı artar, fiyat düşer.

📘 ÖRNEK 7

Talep: Q_d = 100 − 2P, Arz: Q_s = 20 + 3P. Üreticiye birim sübvansiyon s=4 TL veriliyor. Yeni denge noktasını bulunuz.

Çözüm:

Sübvansiyonda üreticinin elde ettiği fiyat P + s olur.

Yeni arz: Q_s = 20 + 3(P + 4) = 20 + 3P + 12 = 32 + 3P

Dengede: 100 − 2P = 32 + 3P ⇒ 68 = 5P ⇒ P* = 13.6 TL

Q* = 100 − 2×13.6 = 72.8 birim

Üreticinin net fiyatı = 13.6 + 4 = 17.6 TL

📋 Formül Özeti

Kavram	Formül	Açıklama
Denge Noktası	Q_d = Q_s veya P_d = P_s	Arz = Talep
Tüketici Fazlası (CS)	∫₀^Q* [P_d(Q) − P*] dQ	Talep eğrisi altındaki alan
Üretici Fazlası (PS)	∫₀^Q* [P* − P_s(Q)] dQ	Arz eğrisi üstündeki alan
Toplam Refah	CS + PS	Sosyal fayda
Vergi Refah Kaybı (DWL)	½ × t × (Q₀ − Q*)	Vergi nedeniyle kayıp