Adım Adım Türetiliş
1
$e^{i\theta}$'nın Maclaurin serisi
$e^x$'in Maclaurin serisi açılımını hatırlayalım:
$$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots $$
Şimdi $x = i\theta$ yazalım:
$$ e^{i\theta} = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \frac{(i\theta)^4}{4!} + \frac{(i\theta)^5}{5!} + \cdots $$
2
$i$'nin kuvvetlerini hesapla
$i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$, $i^5 = i$ olduğunu biliyoruz. Buna göre:
$$ e^{i\theta} = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - \frac{i\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \frac{i\theta^5}{5!} - \frac{\theta^6}{6!} - \frac{i\theta^7}{7!} + \cdots $$
3
Gerçel ve sanal kısımları ayır
Şimdi gerçel ve sanal terimleri ayrı ayrı gruplayalım:
$$ e^{i\theta} = \underbrace{\left( 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!} + \cdots \right)}_{\text{gerçel kısım}} + i \underbrace{\left( \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots \right)}_{\text{sanal kısım}} $$
4
$\cos\theta$ ve $\sin\theta$'yı tanı
$\cos\theta$ ve $\sin\theta$'nın Maclaurin serilerini hatırlayalım:
$\cos\theta$
$$ \cos\theta = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!} + \cdots $$
$\sin\theta$
$$ \sin\theta = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots $$
Bu durumda:
$$ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta $$
İşte bu, Euler'in formülü'dür.
5
$\theta = \pi$ yaz
$\cos\pi = -1$ ve $\sin\pi = 0$ olduğuna göre:
$$ e^{i\pi} = -1 + i \cdot 0 = -1 $$
6
Euler'in özdeşliğine ulaş
Her iki tarafa $1$ ekleyelim:
$$ e^{i\pi} + 1 = 0 $$
Sonuç
$$ e^{i\pi} + 1 = 0 $$
Euler'in özdeşliği, matematikteki beş temel sabiti tek bir denklemde birleştirir:
- $e$ — Euler sayısı (doğal logaritmanın tabanı)
- $i$ — sanal birim ($\sqrt{-1}$)
- $\pi$ — çember sabiti
- $1$ — çarpımsal birim
- $0$ — toplamsal birim