🎯 AMAÇ
Bu bölümde; elektrik potansiyel enerji kavramını, korunumlu kuvvetlerin özelliklerini ve noktasal yük sistemlerinin potansiyel enerjisini öğreneceğiz.
📌 Elektrik Potansiyel Enerji Nedir?
Elektrik potansiyel enerjisi, iki yük arasındaki elektriksel etkileşimden kaynaklanan enerjidir. Tıpkı kütle çekim potansiyel enerjisi gibi, elektrik potansiyel enerjisi de korunumlu bir kuvvetin varlığında tanımlanır.
📌 İŞ-ENERJİ İLİŞKİSİ
Bir test yükünü elektrik alan içinde bir noktadan diğerine taşımak için yapılan iş, potansiyel enerji değişiminin negatifine eşittir:
$$ W = -\Delta U = U_i - U_f $$
⚡ Noktasal Yüklerin Potansiyel Enerjisi
İki noktasal yükten oluşan bir sistemin elektrik potansiyel enerjisi:
$$ U = k \frac{q_1 q_2}{r} $$
Burada:
- $U$: Potansiyel enerji (Joule)
- $q_1, q_2$: Yükler (Coulomb)
- $r$: Yükler arasındaki uzaklık (metre)
- $k = 9 \times 10^9 \ \mathrm{N{\cdot}m^2/C^2}$ (Coulomb sabiti)
📌 YORUM
- Aynı işaretli yükler ($q_1 q_2 > 0$) için $U > 0$ (İtici kuvvet baskındır, sistem enerji depolar).
- Zıt işaretli yükler ($q_1 q_2 < 0$) için $U < 0$ (Çekici kuvvet baskındır, bağlı bir sistem oluşur).
- $r \to \infty$ iken $U \to 0$ (Sonsuzda potansiyel enerji sıfır kabul edilir).
🔄 Çoklu Yük Sistemlerinin Potansiyel Enerjisi
Birden fazla noktasal yükten oluşan bir sistemin toplam potansiyel enerjisi, tüm yük çiftlerinin potansiyel enerjilerinin skaler toplamına eşittir:
$$ U_{\text{toplam}} = \sum_{i<j} k \frac{q_i q_j}{r_{ij}} $$
$q_1 = 2 \times 10^{-6} \text{ C}$ ve $q_2 = -3 \times 10^{-6} \text{ C}$ yükleri aralarında $r = 0{,}1 \text{ m}$ mesafe olacak şekilde yerleştirilmiştir. Sistemin elektrik potansiyel enerjisini bulunuz. ($k = 9 \times 10^9 \ \mathrm{N{\cdot}m^2/C^2}$)
1
Formülü yazın
$U = k \dfrac{q_1 q_2}{r}$
2
Değerleri yerine koyun
$U = 9 \times 10^9 \times \dfrac{(2 \times 10^{-6})(-3 \times 10^{-6})}{0{,}1}$
3
Sonucu hesaplayın
$U = 9 \times 10^9 \times \dfrac{-6 \times 10^{-12}}{0{,}1} = 9 \times 10^9 \times (-6 \times 10^{-11}) = -0{,}54 \text{ J}$
$\boxed{U = -0{,}54 \text{ J}}$ (Enerjinin negatif olması sistemin kararlı/bağlı olduğunu gösterir.)
Bir eşkenar üçgenin köşelerine $q_1 = 2\ \mu\text{C}$, $q_2 = 2\ \mu\text{C}$ ve $q_3 = -4\ \mu\text{C}$ yükleri yerleştirilmiştir. Üçgenin kenar uzunluğu $a = 0{,}1 \text{ m}$ olduğuna göre sistemin toplam potansiyel enerjisini bulunuz. ($k = 9 \times 10^9 \ \mathrm{N{\cdot}m^2/C^2}$)
1
Tüm yük çiftlerini yazın
$U_{\text{toplam}} = U_{12} + U_{13} + U_{23}$
2
$U_{12}$ değerini hesaplayın
$U_{12} = 9 \times 10^9 \times \dfrac{(2 \times 10^{-6})(2 \times 10^{-6})}{0{,}1} = 0{,}36 \text{ J}$
3
$U_{13}$ değerini hesaplayın
$U_{13} = 9 \times 10^9 \times \dfrac{(2 \times 10^{-6})(-4 \times 10^{-6})}{0{,}1} = -0{,}72 \text{ J}$
4
$U_{23}$ değerini hesaplayın
$U_{23} = 9 \times 10^9 \times \dfrac{(2 \times 10^{-6})(-4 \times 10^{-6})}{0{,}1} = -0{,}72 \text{ J}$
5
Toplam enerjiyi bulun
$U_{\text{toplam}} = 0{,}36 - 0{,}72 - 0{,}72 = -1{,}08 \text{ J}$
$\boxed{U_{\text{toplam}} = -1{,}08 \text{ J}}$
🔄 Korunumlu Kuvvet ve Potansiyel Enerji İlişkisi
Elektriksel kuvvet korunumlu bir kuvvet olduğundan, potansiyel enerji fonksiyonu ile kuvvet vektörü arasında aşağıdaki gradyan ilişkisi vardır:
$$ \vec{F} = -\nabla U $$
Tek boyutta bu ifade şu şekilde yazılır: $F = -\dfrac{dU}{dx}$
📌 FİZİKSEL ANLAM
Kuvvet, daima potansiyel enerjinin azaldığı yöne doğru etki eder. Potansiyel enerjinin azaldığı yönde ($\dfrac{dU}{dx} < 0$) kuvvet pozitif yönlü, potansiyel enerjinin arttığı yönde ($\dfrac{dU}{dx} > 0$) ise kuvvet negatif yönlüdür.
Bir sistemin potansiyel enerjisi konuma bağlı olarak $U(x) = 2x^2 - 3x$ J şeklinde verilmiştir. $x = 2 \text{ m}$ noktasında sisteme etki eden kuvveti bulunuz.
1
Kuvvet formülünü yazın
$F = -\dfrac{dU}{dx}$
2
Konuma göre türev alın
$\dfrac{dU}{dx} = 4x - 3$
3
$x = 2\text{ m}$ değerini yerine yazın
$F = -(4 \times 2 - 3) = -(8 - 3) = -5 \text{ N}$
$\boxed{F = -5 \text{ N}}$ (Negatif işaret, kuvvetin $-x$ yönünde etki ettiğini gösterir.)
📌 ÖZET
- İki noktasal yükün potansiyel enerjisi: $U = k \dfrac{q_1 q_2}{r}$
- Aynı işaretli yüklerde $U > 0$, zıt işaretli yüklerde $U < 0$'dır.
- Çoklu sistemlerde toplam potansiyel enerji, tüm ikili kombinasyonların skaler toplamıdır.
- Kuvvet ile enerji ilişkisi: $\vec{F} = -\nabla U$ bağıntısıyla verilir.
← Modül ana sayfasına dön