SORU 3
Elektronun Proton Etrafında Dönmesi — Manyetik Moment
a)
Elektronun çizgisel hızını, \( k_e \) Coulomb sabiti ve \( m_e \) elektronun kütlesi olmak üzere \( k_e \), \( m_e \), \( R \) ve \( q \) cinsinden (\( |q_e| = |q_p| = q \)) bulunuz.
b)
Elektronun periyodunu ve oluşan akımın değerini, \( k_e \), \( m_e \), \( R \) ve \( q \) cinsinden yazınız.
c)
Akımın tanımını kullanarak, oluşan torku, \( k_e \), \( m_e \), \( B \), \( R \) ve \( q \) cinsinden (\( |q_e| = |q_p| = q \)) hesaplayınız.
⚡ Bilinmesi Gereken Kurallar
Coulomb Kuvveti: \( F = k_e \dfrac{q^2}{R^2} \)
Merkezcil Kuvvet: \( F = m_e \dfrac{v^2}{R} \)
Periyot: \( T = \dfrac{2\pi R}{v} \)
Akım: \( I = \dfrac{q}{T} \)
Manyetik Moment: \( \mu = I \cdot A \) (A: akımın çevrelediği alan, \( A = \pi R^2 \))
Tork: \( \tau = \mu B \sin\theta \) (burada \( \theta = 90^\circ \) olduğundan \( \sin\theta = 1 \))
Merkezcil Kuvvet: \( F = m_e \dfrac{v^2}{R} \)
Periyot: \( T = \dfrac{2\pi R}{v} \)
Akım: \( I = \dfrac{q}{T} \)
Manyetik Moment: \( \mu = I \cdot A \) (A: akımın çevrelediği alan, \( A = \pi R^2 \))
Tork: \( \tau = \mu B \sin\theta \) (burada \( \theta = 90^\circ \) olduğundan \( \sin\theta = 1 \))
A1
Kuvvet Dengesi
Elektron, protonun çekim kuvveti sayesinde dairesel hareket yapar. Coulomb kuvveti merkezcil kuvveti sağlar:
$$k_e \frac{q^2}{R^2} = m_e \frac{v^2}{R}$$
A2
Hız İfadesi
Denklem düzenlenirse:
$$v^2 = \frac{k_e q^2}{m_e R} \quad \Longrightarrow \quad v = \sqrt{\frac{k_e q^2}{m_e R}}$$
✓ a Şıkkı — Sonuç
$$v = \sqrt{\frac{k_e q^2}{m_e R}}$$
B1
Periyot Hesabı
Dairesel hareketin periyodu:
$$T = \frac{2\pi R}{v} = 2\pi R \sqrt{\frac{m_e R}{k_e q^2}} = 2\pi \sqrt{\frac{m_e R^3}{k_e q^2}}$$
B2
Akım Hesabı
Birim zamanda geçen yük miktarı akımı verir. Elektron yörüngede her periyotta bir kez geçer:
$$I = \frac{q}{T} = \frac{q}{2\pi} \sqrt{\frac{k_e q^2}{m_e R^3}} = \frac{q^2}{2\pi} \sqrt{\frac{k_e}{m_e R^3}}$$
✓ b Şıkkı — Sonuç
$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m_e R^3}{k_e q^2}}$$
$$I = \frac{q^2}{2\pi} \sqrt{\frac{k_e}{m_e R^3}}$$
C1
Manyetik Moment (\(\mu\))
Akımın çevrelediği alan \( A = \pi R^2 \) olduğundan:
$$\mu = I \cdot A = \frac{q^2}{2\pi} \sqrt{\frac{k_e}{m_e R^3}} \cdot \pi R^2 = \frac{q^2 R^2}{2} \sqrt{\frac{k_e}{m_e R^3}}$$
Sadeleştirirsek:
$$\mu = \frac{q^2}{2} \sqrt{\frac{k_e R}{m_e}}$$
C2
Tork Hesabı (\(\tau\))
Manyetik alan, manyetik momente dik olarak uygulandığında (\(\theta = 90^\circ\), \(\sin\theta = 1\)):
$$\tau = \mu B = \frac{q^2}{2} \sqrt{\frac{k_e R}{m_e}} \cdot B$$
✓ c Şıkkı — Sonuç
$$\tau = \frac{q^2 B}{2} \sqrt{\frac{k_e R}{m_e}}$$