SORU 4
Küresel Yük Dağılımı — Elektrik Alan ve Potansiyel
a)
Kürenin toplam yükünü bulunuz.
b)
Gauss yasasını kullanarak, merkezden \( r \) (\( r < R \)) uzaklığındaki elektrik alan şiddetinin büyüklüğünü bulunuz.
c)
Sonsuzdaki potansiyelin sıfır olduğu kabul edilirse, kürenin yüzeyindeki elektrik potansiyelini hesaplayınız.
⚡ Bilinmesi Gereken Kurallar
Toplam Yük: \( Q = \int \rho \, dV \) (küresel koordinatlarda \( dV = 4\pi r^2 dr \))
Gauss Yasası: \( \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \dfrac{Q_{iç}}{\epsilon_0} \)
Elektrik Alan ve Potansiyel İlişkisi: \( V(R) = \int_R^\infty E(r) \, dr \) (sonsuzda \( V=0 \))
Gauss Yasası: \( \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \dfrac{Q_{iç}}{\epsilon_0} \)
Elektrik Alan ve Potansiyel İlişkisi: \( V(R) = \int_R^\infty E(r) \, dr \) (sonsuzda \( V=0 \))
A1
Hacim integralini yaz
Küresel koordinatlarda hacim elemanı \( dV = 4\pi r^2 dr \) olduğundan:
$$Q = \int_0^R \rho(r) \, 4\pi r^2 dr = 4\pi \rho_c \int_0^R \left(1 - \frac{r}{R}\right) r^2 dr$$
A2
İntegrali hesapla
Integrali parçalayalım:
$$\int_0^R r^2 dr = \frac{R^3}{3}$$
$$\int_0^R \frac{r}{R} \cdot r^2 dr = \frac{1}{R} \int_0^R r^3 dr = \frac{1}{R} \cdot \frac{R^4}{4} = \frac{R^3}{4}$$
O halde:
$$\int_0^R \left(1 - \frac{r}{R}\right) r^2 dr = \frac{R^3}{3} - \frac{R^3}{4} = \frac{R^3}{12}$$
A3
Toplam yük
$$Q = 4\pi \rho_c \cdot \frac{R^3}{12} = \frac{\pi \rho_c R^3}{3}$$
✓ a Şıkkı — Sonuç
$$Q = \frac{\pi \rho_c R^3}{3}$$
B1
Gauss yüzeyi ve iç yük
Merkezden \( r \) uzaklıkta (\( r < R \)) yarıçaplı bir Gauss küresi alalım. Alan küresel simetrik olduğundan \( \oint E \cdot dA = E \cdot 4\pi r^2 \).
İç yük: \( Q_{iç} = 4\pi \rho_c \int_0^r \left(1 - \frac{r'}{R}\right) r'^2 dr' \)
B2
İç yük integralini hesapla
$$\int_0^r r'^2 dr' = \frac{r^3}{3}$$
$$\int_0^r \frac{r'}{R} \cdot r'^2 dr' = \frac{1}{R} \int_0^r r'^3 dr' = \frac{1}{R} \cdot \frac{r^4}{4} = \frac{r^4}{4R}$$
Böylece:
$$Q_{iç} = 4\pi \rho_c \left( \frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4R} \right)$$
B3
Gauss yasasını uygula
$$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{1}{\epsilon_0} \cdot 4\pi \rho_c \left( \frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4R} \right)$$
Sadeleştirince:
$$E(r) = \frac{\rho_c}{\epsilon_0} \left( \frac{r}{3} - \frac{r^2}{4R} \right)$$
✓ b Şıkkı — Sonuç
$$E(r) = \frac{\rho_c}{\epsilon_0} \left( \frac{r}{3} - \frac{r^2}{4R} \right), \quad r < R$$
C1
İç bölgede (\( r < R \)) elektrik alan
Önceki adımdan iç bölge alanı:
$$E_{iç}(r) = \frac{\rho_c}{\epsilon_0} \left( \frac{r}{3} - \frac{r^2}{4R} \right)$$
C2
Dış bölgede (\( r > R \)) elektrik alan
Küre dışında toplam yük \( Q = \pi \rho_c R^3 / 3 \) olduğundan, noktasal yük gibi davranır:
$$E_{dış}(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{\pi \rho_c R^3}{3 r^2} = \frac{\rho_c R^3}{12\epsilon_0 r^2}$$
C3
Potansiyel hesabı
Potansiyel, elektrik alanın sonsuzdan yüzeye kadar integralidir:
$$V(R) = \int_R^\infty E_{dış}(r) \, dr = \int_R^\infty \frac{\rho_c R^3}{12\epsilon_0 r^2} \, dr$$
$$V(R) = \frac{\rho_c R^3}{12\epsilon_0} \left[ -\frac{1}{r} \right]_R^\infty = \frac{\rho_c R^3}{12\epsilon_0} \cdot \frac{1}{R} = \frac{\rho_c R^2}{12\epsilon_0}$$
✓ c Şıkkı — Sonuç
$$V(R) = \frac{\rho_c R^2}{12\epsilon_0}$$