BUders | Paralel Tel ve Dikdörtgen Halka

SORU 5 Paralel Tel ve Dikdörtgen Halka — Manyetik Kuvvet

a) Uzun telin, dikdörtgenin AD kenarı üzerine uyguladığı manyetik kuvvetin büyüklüğünü bulunuz.

b) Uzun telin, dikdörtgenin AB kenarı üzerine uyguladığı manyetik kuvvetin büyüklüğünü bulunuz.

c) Dikdörtgen akım halkasına etkiyen net manyetik kuvvetin büyüklüğünü ve yönünü bulunuz.

⚡ Bilinmesi Gereken Kurallar

Uzun bir telin oluşturduğu manyetik alan: $ B(r) = \dfrac{\mu_0 I_1}{2\pi r} $ (r: telden uzaklık)
Akım taşıyan bir tele etkiyen manyetik kuvvet: $ \vec{F} = I \vec{L} \times \vec{B} $
Kuvvetin büyüklüğü: $ F = I L B \sin\theta $ ($\theta$: akım ile manyetik alan arasındaki açı)

A1 AD kenarındaki manyetik alan

AD kenarı tele en yakın kenardır ve telden $a$ uzaklıktadır. Bu kenarın her noktası telden aynı $a$ uzaklıkta olduğu için manyetik alan sabittir:

$$B_{AD} = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi a}$$

A2 Kuvvetin büyüklüğü

AD kenarının uzunluğu $c$'dir. Akım $I_2$ ile manyetik alan birbirine diktir ($\sin 90^\circ = 1$):

$$F_{AD} = I_2 \cdot c \cdot B_{AD} = I_2 \cdot c \cdot \frac{\mu_0 I_1}{2\pi a} = \frac{\mu_0 I_1 I_2 c}{2\pi a}$$

✓ a Şıkkı — Sonuç

$$F_{AD} = \frac{\mu_0 I_1 I_2 c}{2\pi a}$$

B1 AB kenarındaki manyetik alan

AB kenarı tele dik uzanır ve telden $a$ ile $a+b$ arasındaki uzaklıklardadır. Kenar üzerinde bir noktanın telden uzaklığı $r$ ($a \leq r \leq a+b$) ise:

$$B(r) = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r}$$

B2 Kuvvetin integrali

Kenar üzerinde bir $dr$ elemanına etkiyen kuvvet: $ dF = I_2 \cdot dr \cdot B(r) $. Toplam kuvvet:

$$F_{AB} = \int_{r=a}^{a+b} I_2 \cdot \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r} \, dr = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi} \int_a^{a+b} \frac{dr}{r}$$

B3 İntegrali hesapla

$$\int_a^{a+b} \frac{dr}{r} = \ln\left(\frac{a+b}{a}\right) = \ln\left(1 + \frac{b}{a}\right)$$

Böylece:

$$F_{AB} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi} \ln\left(1 + \frac{b}{a}\right)$$

✓ b Şıkkı — Sonuç

$$F_{AB} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi} \ln\left(1 + \frac{b}{a}\right)$$

C1 BC kenarı (tele uzak, paralel)

BC kenarı tele $a+b$ uzaklıkta olup AD kenarına benzer. Uzunluğu $c$'dir:

$$F_{BC} = I_2 \cdot c \cdot \frac{\mu_0 I_1}{2\pi (a+b)} = \frac{\mu_0 I_1 I_2 c}{2\pi (a+b)}$$

Yönü: AD kenarının tersine (telden uzağa doğru).

C2 CD kenarı (AB kenarına benzer)

CD kenarı da AB gibi integral gerektirir ve aynı büyüklüktedir:

$$F_{CD} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi} \ln\left(1 + \frac{b}{a}\right)$$

Yönü: AB kenarının tersi yönde (akım yönü zıt olduğu için).

C3 Kuvvetleri vektörel topla

AB ve CD kenarlarındaki kuvvetler eşit büyüklükte ve zıt yönde olduğu için birbirini götürür.

AD ve BC kenarlarındaki kuvvetler aynı doğrultuda (tele paralel) ancak zıt yöndedir. Net kuvvet:

$$F_{net} = F_{AD} - F_{BC} = \frac{\mu_0 I_1 I_2 c}{2\pi} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+b} \right)$$

$$F_{net} = \frac{\mu_0 I_1 I_2 c}{2\pi} \cdot \frac{b}{a(a+b)} = \frac{\mu_0 I_1 I_2 b c}{2\pi a(a+b)}$$

C4 Net kuvvetin yönü

$F_{AD} > F_{BC}$ olduğundan (payda küçük → kuvvet büyük), net kuvvet AD kenarının yönünde, yani uzun tele doğru (çekici) olur.

✓ c Şıkkı — Sonuç

$$F_{net} = \frac{\mu_0 I_1 I_2 b c}{2\pi a(a+b)}$$

Yön: Uzun tele doğru (çekici)

Paralel Tel ve Dikdörtgen Halkada Manyetik Kuvvet