BUders | Kondansatör Grubu — Eşdeğer Sığa ve Yük

SORU 7 Kondansatör Grubu — Eşdeğer Sığa ve Yük

a) Bir grup kondansatörün $ a $ ve $ b $ noktaları arasındaki eşdeğer sığasını bulunuz.

b) $ a $ ve $ b $ noktaları arasındaki potansiyel fark $ 60{,}0\ \mathrm{V} $ ise, $ C_3 $ kondansatörü üzerinde biriken yükü bulunuz.

C₁ = 5.00 μF

C₂ = 10.0 μF

C₃ = 2.00 μF

⚡ Bilinmesi Gereken Kurallar

Seri bağlı sığalar: $ \dfrac{1}{C_{seri}} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + \cdots $ — Seri bağlı kondansatörlerde eşdeğer sığa her birinden küçük olur.

Paralel bağlı sığalar: $ C_{par} = C_1 + C_2 + \cdots $ — Paralel bağlı kondansatörlerde eşdeğer sığa her birinden büyük olur.

Yük–Gerilim ilişkisi: $ Q = C \cdot V $ — Paralel bağlı kondansatörler aynı gerilime, seri bağlılar aynı yüke sahiptir.

🔍 Devre Yapısının Analizi

Devreyi dikkatli incelediğimizde iki ana grup görürüz:

C' grubu (üst büyük kutu): Sol dalda $C_1$ ile $C_2$ seri bağlı, sağ dalda yine $C_1$ ile $C_2$ seri bağlı; bu iki dal $C_3$ ile birlikte paralel bağlanmış.

C'' grubu (alt küçük kutu): İki $C_2$ birbirine paralel bağlı.

Son olarak C' ile C'' birbiriyle seri bağlıdır ($a$–$b$ arasında).

A1 Sol (ve sağ) daldaki C₁ ve C₂ seri bağlantısı

Devreden sol dal ve sağ dal özdeş: her birinde $C_1$ ve $C_2$ seri bağlı.

$$\frac{1}{C_{12}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{5{,}00} + \frac{1}{10{,}0} = \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10}\ \mathrm{\mu F^{-1}}$$

$$C_{12} = \frac{10}{3} \approx 3{,}33\ \mathrm{\mu F}$$

İki dal özdeş olduğundan sağ dal için de $ C_{12}' = 3{,}33\ \mathrm{\mu F} $.

A2 C' grubunun eşdeğeri: sol dal ∥ C₃ ∥ sağ dal

Bu üç yol $a$–orta düğüm arasında paralel bağlıdır:

$$C' = C_{12} + C_3 + C_{12}' = \frac{10}{3} + 2{,}00 + \frac{10}{3}$$

$$C' = \frac{10}{3} + \frac{10}{3} + \frac{6}{3} = \frac{26}{3} \approx 8{,}67\ \mathrm{\mu F}$$

A3 C'' grubunun eşdeğeri: iki C₂ paralel

Alt kutuda iki $C_2$ paralel bağlıdır:

$$C'' = C_2 + C_2 = 10{,}0 + 10{,}0 = 20{,}0\ \mathrm{\mu F}$$

A4 C' ve C'' seri bağlantısı → C_ab

$C'$ ve $C''$ seri bağlı olduğundan:

$$\frac{1}{C_{ab}} = \frac{1}{C'} + \frac{1}{C''} = \frac{3}{26} + \frac{1}{20}$$

Ortak paydaya getirip toplarız $(OKE = 260)$:

$$\frac{1}{C_{ab}} = \frac{3 \times 10}{260} + \frac{13}{260} = \frac{30 + 13}{260} = \frac{43}{260}\ \mathrm{\mu F^{-1}}$$

$$C_{ab} = \frac{260}{43} \approx 6{,}05\ \mathrm{\mu F}$$

✓ a Şıkkı — Sonuç

$$C_{ab} = \frac{260}{43}\ \mathrm{\mu F} \approx 6{,}05\ \mathrm{\mu F}$$

B1 Seri bağlı C' ve C'' üzerindeki yükü bul

C' ve C'' seri bağlı olduğundan ikisinde de aynı yük $Q_{toplam}$ bulunur:

$$Q_{toplam} = C_{ab} \cdot V_{ab} = \frac{260}{43}\ \mathrm{\mu F} \times 60{,}0\ \mathrm{V}$$

$$Q_{toplam} = \frac{260 \times 60}{43}\ \mathrm{\mu C} = \frac{15600}{43} \approx 362{,}8\ \mathrm{\mu C}$$

B2 C' grubu üzerindeki gerilimi bul

C' ve C'' seri bağlı; C' üzerindeki gerilim:

$$V_{C'} = \frac{Q_{toplam}}{C'} = \frac{15600/43\ \mathrm{\mu C}}{26/3\ \mathrm{\mu F}} = \frac{15600}{43} \times \frac{3}{26}\ \mathrm{V}$$

$$V_{C'} = \frac{15600 \times 3}{43 \times 26} = \frac{46800}{1118} = \frac{2400}{43 \times \frac{26}{3}} \approx \frac{180}{43} \times 10 \approx 41{,}9\ \mathrm{V}$$

💡 Alternatif hesap: $ V_{C'} = \dfrac{C''}{C'+C''} \times V_{ab} = \dfrac{20}{26/3+20} \times 60 $ — ancak bu yalnızca iki eleman seri olduğunda geçerlidir. Doğrudan $ Q/C $ daha güvenlidir.

Kesin sonuç:

$$V_{C'} = \frac{Q_{toplam}}{C'} = \frac{15600/43}{26/3} = \frac{15600 \times 3}{43 \times 26} = \frac{1800}{43} \approx 41{,}86\ \mathrm{V}$$

B3 C₃ paralel kolda aynı gerilime sahip → Q₃ hesabı

C' grubundaki $C_3$, iki $C_{12}$ dalıyla paralel bağlıdır. Bu nedenle $C_3$ üzerindeki gerilim de $V_{C'}$ dir:

$$V_{C_3} = V_{C'} = \frac{1800}{43}\ \mathrm{V}$$

$$Q_3 = C_3 \cdot V_{C_3} = 2{,}00\ \mathrm{\mu F} \times \frac{1800}{43}\ \mathrm{V} = \frac{3600}{43}\ \mathrm{\mu C}$$

$$Q_3 \approx 83{,}7\ \mathrm{\mu C}$$

✓ b Şıkkı — Sonuç

$$Q_3 = \frac{3600}{43}\ \mathrm{\mu C} \approx 83{,}7\ \mathrm{\mu C}$$

Kondansatör Grubunda Eşdeğer Sığa ve Yük