Bu bölümde, elektromanyetizmanın temelini oluşturan dört Maxwell denklemini, bunların integral ve diferansiyel formlarını, fiziksel anlamlarını ve James Clerk Maxwell'in elektromanyetik dalgaları öngörmesini öğreneceğiz.
1860'larda James Clerk Maxwell, o dönemde bilinen elektrik ve manyetizma yasalarını (Gauss yasası, Gauss manyetizma yasası, Faraday yasası ve Ampere yasası) birleştirerek tutarlı bir matematiksel çerçeve oluşturdu. Ampere yasasındaki bir tutarsızlığı fark ederek deplasman akımı terimini ekledi ve böylece elektromanyetik dalgaların varlığını teorik olarak öngördü. Bu dört denklem, klasik elektromanyetizmanın temelini oluşturur.
| Yasa | İntegral Form | Fiziksel Anlam |
|---|---|---|
| Gauss Yasası (Elektrik) | $\displaystyle\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{iç}}{\epsilon_0}$ | Elektrik alanın kaynağı elektrik yükleridir. |
| Gauss Yasası (Manyetizma) | $\displaystyle\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$ | Manyetik tek kutup (monopol) yoktur. |
| Faraday Yasası | $\displaystyle\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$ | Değişen manyetik alan elektrik alan oluşturur. |
| Ampere-Maxwell Yasası | $\displaystyle\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ | Değişen elektrik alan (deplasman akımı) manyetik alan oluşturur. |
Maxwell'in en büyük katkısı, Ampere yasasına eklediği deplasman akımı terimidir:
Bu terim, bir kondansatörün plakaları arasında akım olmamasına rağmen manyetik alan oluşmasını açıklar. Deplasman akımı, elektrik alanın zamanla değişimini temsil eder.
| Yasa | Diferansiyel Form |
|---|---|
| Gauss Yasası (Elektrik) | $\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \dfrac{\rho}{\epsilon_0}$ |
| Gauss Yasası (Manyetizma) | $\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$ |
| Faraday Yasası | $\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ |
| Ampere-Maxwell Yasası | $\vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ |
Maxwell denklemleri, boşlukta (yük ve akım olmadığında $\rho = 0$, $\vec{J} = 0$) birleştirildiğinde elektrik ve manyetik alanların dalga denklemini sağladığı görülür:
Bu denklemler, elektrik ve manyetik alanların boşlukta $c = 1/\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}$ hızıyla yayılan dalgalar şeklinde hareket ettiğini gösterir. $c$ değeri hesaplandığında ışık hızına ($\approx 3 \times 10^8$ m/s) eşit çıkar. Bu, ışığın aslında bir elektromanyetik dalga olduğunun kanıtıdır.
Maxwell, dört denklemi birleştirerek şunları başarmıştır:
Paralel plakalı bir kondansatörde plakalar arasındaki elektrik akısı $\Phi_E = (5 \times 10^4) t$ Wb olarak değişiyor. Deplasman akımını bulunuz.
$\boxed{I_d = 4.425 \times 10^{-7}\ \text{A}}$
Bir kondansatörün plakaları arasında elektrik alan $E = 10^6 \sin(10^8 t)$ V/m olarak değişiyor. Plakalar arasındaki deplasman akımı yoğunluğunu bulunuz.
$\boxed{J_d = 885 \cos(10^8 t)\ \text{A/m}^2}$
Boşluğun manyetik geçirgenliği $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ H/m ve elektrik geçirgenliği $\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}$ F/m'dir. Işık hızını hesaplayınız.
$\boxed{c = 3.00 \times 10^8\ \text{m/s}}$
Bir elektrik alan $\vec{E} = (3x)\hat{i} + (2y)\hat{j}$ V/m olarak veriliyor. Bu alanın divergansını hesaplayınız ve Gauss yasasını yorumlayınız.
$\boxed{\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 5\ \text{V/m}^2}$
Gauss yasasına göre $\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \rho/\epsilon_0$ olduğundan, $\rho = 5\epsilon_0 = 4.425 \times 10^{-11}$ C/m³ yük yoğunluğu bulunur.
Bir manyetik alan $\vec{B} = (0.2 \sin(100t))\hat{k}$ T olarak değişiyor. $x$-$y$ düzleminde 0.1 m² alana sahip bir döngü için indüklenen elektrik alanın (emk) büyüklüğünü bulunuz.
$\boxed{\mathcal{E} = -2 \cos(100t)\ \text{V}}$