Gauss İntegrali İspatı | Matematiksel Derinlik

Adım Adım Çözüm

1 İntegrali kendisiyle çarp

Çözüme direkt ulaşmak yerine, önce integralin karesini alalım. $I$'yi tanımlayıp $I^2$ üzerinden ilerlemek, iki boyuta geçişin kapısını açar.

$$ I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \quad \Longrightarrow \quad I^2 = \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \right) \cdot \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} \, dy \right) $$

2 Çift katlı integrale dönüştür

İki ayrı integralin çarpımı, $xy$-düzlemi üzerinde tek bir çift katlı integrale eşittir. Böylece problem artık tek boyutlu değil, düzlemsel bir problem haline gelir.

$$ I^2 = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2 + y^2)} \, dx \, dy $$

3 Kutupsal koordinatlara geç

İşte kritik hamle: $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ dönüşümüyle kutupsal koordinatlara geçiyoruz. $x^2 + y^2$ ifadesi sadeleşerek $r^2$'ye dönüşür, alan elemanı $dx\,dy$ ise $r\,dr\,d\theta$ olur.

$$ I^2 = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} \, r \, dr \, d\theta $$

4 İç integrali çöz

$u = r^2$ dönüşümüyle ($du = 2r\,dr$) içteki integral artık basit bir üstel integrale dönüşür ve doğrudan hesaplanabilir.

$$ \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \, dr = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-u} \, du = \frac{1}{2} $$

5 $\theta$ üzerinden integral al

Geriye kalan integral $\theta$'ya bağlı değildir, sadece $0$'dan $2\pi$'ye kadar bir sabiti toplar.

$$ I^2 = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} \, d\theta = 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi $$

6 Karekökünü al

$I^2 = \pi$ bulunduğuna göre, $I$ pozitif bir integral olduğundan ($e^{-x^2}$ her zaman pozitiftir) sonucu doğrudan alabiliriz.

$$ I = \sqrt{\pi} $$

Sonuç

$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi} $$

Bu yöntemin güzelliği, tek boyutta çözülemeyen bir integrali iki boyuta taşıyıp simetriden faydalanarak çözmesidir. Aynı teknik, olasılık ve istatistikte normal dağılımın temelini oluşturan Gauss fonksiyonunun normalize edilmesinde de kullanılır.