Jakobiyen – Çözümlü Örnekler

Aşağıda Jakobiyen konusunu pekiştirmek için hazırlanmış 8 örnek soru bulunmaktadır. Her sorunun altındaki "Çözümü Göster" butonuna tıklayarak adım adım çözüme ulaşabilirsiniz.

Örnek 1 Kutupsal Dönüşüm

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ dönüşümünün Jakobiyenini hesaplayınız.

Çözüm:
$x_r = \cos\theta$, $x_\theta = -r\sin\theta$
$y_r = \sin\theta$, $y_\theta = r\cos\theta$
$\mathbf{J} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{bmatrix}$
$J = \det(\mathbf{J}) = (\cos\theta)(r\cos\theta) - (-r\sin\theta)(\sin\theta) = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r$
$|J| = r$ (kutupsal koordinatlarda alan elemanı $dA = r\,dr\,d\theta$)

Örnek 2 Doğrusal Dönüşüm

$x = 2u + 3v$, $y = u - v$ dönüşümünün Jakobiyenini bulunuz.

Çözüm:
$x_u = 2$, $x_v = 3$, $y_u = 1$, $y_v = -1$
$\mathbf{J} = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$
$J = (2)(-1) - (3)(1) = -2 - 3 = -5$
$|J| = 5$

Örnek 3 Küresel Koordinatlar

$x = \rho\sin\phi\cos\theta$, $y = \rho\sin\phi\sin\theta$, $z = \rho\cos\phi$ dönüşümünün Jakobiyenini bulunuz.

Çözüm: (sonuç bilinir)
Uzun bir hesaplama sonucunda: $\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\phi,\theta)} = \rho^2 \sin\phi$
$|J| = \rho^2 \sin\phi$ (küresel koordinatlarda hacim elemanı $dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho\,d\phi\,d\theta$)

Örnek 4 Parabolik Dönüşüm

$x = u^2 - v^2$, $y = 2uv$ dönüşümünün Jakobiyenini hesaplayınız.

Çözüm:
$x_u = 2u$, $x_v = -2v$, $y_u = 2v$, $y_v = 2u$
$\mathbf{J} = \begin{bmatrix} 2u & -2v \\ 2v & 2u \end{bmatrix}$
$J = (2u)(2u) - (-2v)(2v) = 4u^2 + 4v^2 = 4(u^2+v^2)$
$|J| = 4(u^2+v^2)$

Örnek 5 Silindirik Koordinatlar

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $z = z$ dönüşümünün Jakobiyenini bulunuz.

Çözüm:
$\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)} = \det\begin{bmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
Determinant = $1 \cdot \det\begin{bmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{bmatrix} = 1 \cdot r = r$
$|J| = r$ (silindirik koordinatlarda hacim elemanı $dV = r\,dr\,d\theta\,dz$)

Örnek 6 Zincir Kuralı

$(x,y) = (2u+v, u-3v)$ ve $(u,v) = (s^2, t^2)$ ise $\frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)}$'yi zincir kuralı ile bulunuz.

Çözüm:
$J_1 = \det\begin{bmatrix}2&1\\1&-3\end{bmatrix} = (2)(-3)-(1)(1) = -6-1 = -7$
$J_2 = \det\begin{bmatrix}2s&0\\0&2t\end{bmatrix} = (2s)(2t) - 0 = 4st$
$\frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)} = J_1 \cdot J_2 = -7 \cdot 4st = -28st$
$|J| = 28st$

Örnek 7 Ters Dönüşüm

$x = 2u + v$, $y = u - 3v$ dönüşümünün tersinin Jakobiyenini bulunuz.

Çözüm:
Önce orijinal Jakobiyen: $J_{x,y}(u,v) = \det\begin{bmatrix}2&1\\1&-3\end{bmatrix} = (2)(-3)-(1)(1) = -6-1 = -7$
Ters dönüşümün Jakobiyeni: $J_{u,v}(x,y) = \frac{1}{J_{x,y}(u,v)} = \frac{1}{-7} = -\frac{1}{7}$
$|J| = \frac{1}{7}$

Örnek 8 Alan Dönüşümü

$x = u + v$, $y = u - v$ dönüşümü $R: 0 \le u \le 1,\; 0 \le v \le 1$ karesini hangi alana dönüştürür? Jakobiyeni kullanarak hesaplayınız.

Çözüm:
$J = \det\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix} = (1)(-1) - (1)(1) = -2$
$|J| = 2$
Dönüşen alan = $\iint_R |J| \, du\,dv = \int_0^1 \int_0^1 2 \, du\,dv = 2 \times (1 \times 1) = 2$
Birim kare, alanı 2 olan bir eşkenar dörtgene dönüşür.

← Ana modül sayfasına dön

📝 Çözümlü Örnekler