🎯 AMAÇ
Bu bölümde, en sık kullanılan koordinat dönüşümlerinin Jakobiyenlerini adım adım hesaplayacağız. Kutupsal, silindirik, küresel koordinatlar ve doğrusal dönüşümlerin alan/hacim elemanlarını öğreneceğiz.
📐 1. Kutupsal Koordinatlar (2 Boyut)
Kutupsal koordinatlarda dönüşüm:
$$ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta $$
Burada $r \ge 0$, $\theta \in [0, 2\pi)$.
1
Kısmi türevleri hesapla
$x_r = \cos\theta$, $x_\theta = -r\sin\theta$
$y_r = \sin\theta$, $y_\theta = r\cos\theta$
2
Jakobiyen matrisini yaz
$\mathbf{J} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{bmatrix}$
3
Determinantı hesapla
$J = (\cos\theta)(r\cos\theta) - (-r\sin\theta)(\sin\theta) = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r$
4
Alan elemanı
$dx\,dy = |J|\,dr\,d\theta = r\,dr\,d\theta$
📌 SONUÇ
Kutupsal koordinatlarda alan elemanı: $\boxed{dA = r\,dr\,d\theta}$
📐 2. Silindirik Koordinatlar (3 Boyut)
Silindirik koordinatlarda dönüşüm:
$$ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z $$
Burada $r \ge 0$, $\theta \in [0, 2\pi)$, $z \in \mathbb{R}$.
1
Kısmi türevleri hesapla
$x_r = \cos\theta$, $x_\theta = -r\sin\theta$, $x_z = 0$
$y_r = \sin\theta$, $y_\theta = r\cos\theta$, $y_z = 0$
$z_r = 0$, $z_\theta = 0$, $z_z = 1$
2
Jakobiyen matrisini yaz
$\mathbf{J} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
3
Determinantı hesapla
$\det(\mathbf{J}) = 1 \cdot \det\begin{bmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{bmatrix} = 1 \cdot r = r$
4
Hacim elemanı
$dx\,dy\,dz = |J|\,dr\,d\theta\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz$
📌 SONUÇ
Silindirik koordinatlarda hacim elemanı: $\boxed{dV = r\,dr\,d\theta\,dz}$
🌐 3. Küresel Koordinatlar (3 Boyut)
Küresel koordinatlarda dönüşüm:
$$ x = \rho\sin\phi\cos\theta, \quad y = \rho\sin\phi\sin\theta, \quad z = \rho\cos\phi $$
Burada $\rho \ge 0$, $\phi \in [0,\pi]$, $\theta \in [0,2\pi)$.
⚠️ UYARI
Bazı kaynaklarda $\phi$ ve $\theta$ yer değiştirebilir. Burada $\phi$: kutup açısı (z ekseninden ölçülür), $\theta$: azimut açısıdır.
1
Kısmi türevleri hesapla (sadece determinant bilinir)
Uzun bir hesaplama sonucu:
2
Jakobiyen
$J = \rho^2 \sin\phi$
3
Hacim elemanı
$dx\,dy\,dz = |J|\,d\rho\,d\phi\,d\theta = \rho^2 \sin\phi \, d\rho\,d\phi\,d\theta$
📌 SONUÇ
Küresel koordinatlarda hacim elemanı: $\boxed{dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho\,d\phi\,d\theta}$
📏 4. Doğrusal (Afine) Dönüşümler
Doğrusal dönüşümler genel olarak:
$$ x = au + bv, \quad y = cu + dv $$
1
Kısmi türevler
$x_u = a$, $x_v = b$, $y_u = c$, $y_v = d$
2
Jakobiyen matrisi
$\mathbf{J} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$
3
Determinant
$J = ad - bc$ (sabit, noktadan bağımsız)
4
Alan elemanı
$dx\,dy = |ad-bc|\,du\,dv$
📌 ÖZET TABLO
| Dönüşüm | Denklemler | $|J|$ |
|---|
| Kutupsal (2D) | $x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta$ | $r |
| Silindirik (3D) | $x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta,\; z = z$ | $r |
| Küresel (3D) | $x = \rho\sin\phi\cos\theta,\; y = \rho\sin\phi\sin\theta,\; z = \rho\cos\phi$ | $\rho^2 \sin\phi$ |
| Doğrusal (2D) | $x = au + bv,\; y = cu + dv$ | $|ad-bc|$ |
✍️ Pratik Kullanım Örneği
Yarıçapı $R$ olan bir dairenin alanını kutupsal koordinatlarda hesaplayalım:
$$ \text{Alan} = \iint_R dx\,dy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{R} d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{R^2}{2} d\theta = \frac{R^2}{2} \cdot 2\pi = \pi R^2 $$
Jakobiyen $r$ sayesinde doğru alan formülünü elde ettik.
📌 HATIRLATMA
Bu dönüşümlerin Jakobiyenlerini ezbere bilmek, çok değişkenli integral hesaplarında size çok zaman kazandıracaktır. Kutupsal: $r$, silindirik: $r$, küresel: $\rho^2\sin\phi$.
← Ana modül sayfasına dön