1900'de David Hilbert, matematiğin tamamının tutarlı ve eksiksiz bir aksiyom sistemiyle temellendirilip temellendirilip temellendirilip temellendirilip temellendirilebileceğini öngörmüştü. 1931'de 25 yaşındaki Gödel, Über formal unentscheidbare Sätze adlı makalesiyle bu programı çökertti.

Birinci Eksiklik Teoremi: Peano aritmetiği gibi yeterince güçlü herhangi bir tutarlı formal sistem, sistemi içinde ne ispat edilebilen ne de çürütülebilen önermeler barındırır. Yani her sistem zorunlu olarak eksiktir.

İkinci Eksiklik Teoremi: Böyle bir sistem kendi tutarlılığını kendi içinde ispat edemez. Yani bir sistem kendisinin çelişkisiz olduğunu kanıtlayacak kadar güçlü olamaz.

Gödel, hayatının sonlarına doğru ağır bir paranoya geliştirdi: yiyeceklerin zehirlendiğinden korkuyordu ve yalnızca eşi Adele'nin hazırladığı yemekleri yiyebiliyordu. 1977'de Adele hastalanınca Gödel yemek yemeyi tamamen reddetti. 14 Ocak 1978'de Princeton'da açlıktan hayatını kaybetti. Ölüm sertifikasındaki resmi neden: "Kişilik bozukluğundan kaynaklanan yetersiz beslenme."

Ama mirası, bu trajik sonun çok ötesindedir. Gödel'in teoremleri bilgisayar bilimini, yapay zekâ felsefesini, dil teorisini ve matematiğin temellerini kalıcı olarak biçimlendirdi.

Alan Turing, Gödel'in yöntemlerinden ilham alarak hesaplanabilirlik teorisini ve Turing makinesi kavramını geliştirdi. "Bir bilgisayar hiçbir zaman gerçek anlamda düşünemez mi?" sorusu, Gödel'in eksiklik teoremleriyle doğrudan bağlantılıdır.

• Turing'in durma problemi — Gödel'in yöntemiyle kanıtlandı
• Yapay zekânın sınırları üzerine felsefi tartışmalar
• Tarski'nin doğruluk teorisi — Gödel'den ilham aldı
• Modern ispat teorisi ve hesaplamalı karmaşıklık