Anasayfa/ Üniversite/ Diferansiyel Denklemler/ Kütle-Yay Sistemi
Quizler Videolar

📐 Kütle-Yay Sistemi

Mekanik Titreşimler · 2. Mertebe Diferansiyel Denklemler
Kütle-Yay Sistemi Şeması
Şekil 1: Yatay kütle-yay sistemi - m: kütle, k: yay sabiti, x: denge konumundan sapma, F = -kx: geri çağırıcı kuvvet

🪨 Fiziksel Model: Newton'un İkinci Yasası

Bir kütle-yay sistemi, kütle (m), yay sabiti (k) ve sönüm katsayısı (c) ile karakterize edilir. Newton'un ikinci yasasına göre:

$$ F_{net} = m \cdot a = m \frac{d^2x}{dt^2} $$

Sisteme etki eden kuvvetler:

$$ m \frac{d^2x}{dt^2} + c \frac{dx}{dt} + kx = F(t) $$

📈 1. Sönümsüz Serbest Titreşim ($c=0$, $F=0$)

Denklem: $m\dfrac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$ veya $\dfrac{d^2x}{dt^2} + \omega_0^2 x = 0$

Burada $\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$ doğal frekans (rad/s) olarak adlandırılır.

1
Karakteristik denklem: $r^2 + \omega_0^2 = 0$ ⇒ $r = \pm i\omega_0$
2
Genel çözüm: $x(t) = A \cos(\omega_0 t) + B \sin(\omega_0 t)$
3
Genlik ve faz açısı formu: $x(t) = C \cos(\omega_0 t - \phi)$
⏱️ PERİYOT VE FREKANS

Periyot: $T = \dfrac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}$ s

Doğal frekans: $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\omega_0}{2\pi} = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}$ Hz

Sistem hiç sönüm yoksa sonsuza kadar aynı genlikte salınır.

📉 2. Sönümlü Serbest Titreşim ($c>0$, $F=0$)

Denklem: $m\dfrac{d^2x}{dt^2} + c\dfrac{dx}{dt} + kx = 0$

🔴 SÖNÜM PARAMETRELERİ

Kritik sönüm: $c_c = 2\sqrt{mk}$

Sönüm oranı: $\zeta = \dfrac{c}{c_c}$

Sönümlü doğal frekans: $\omega_d = \omega_0 \sqrt{1 - \zeta^2}$

Durum 1: Az Sönümlü (Underdamped) - $\zeta < 1$

$$ x(t) = e^{-\zeta \omega_0 t} \left( A \cos(\omega_d t) + B \sin(\omega_d t) \right) $$

Durum 2: Kritik Sönümlü (Critically Damped) - $\zeta = 1$

$$ x(t) = (A + Bt) e^{-\omega_0 t} $$

Durum 3: Çok Sönümlü (Overdamped) - $\zeta > 1$

$$ x(t) = A e^{r_1 t} + B e^{r_2 t} $$

📝 Örnek 1: Sönümsüz Kütle-Yay Sistemi

📘 ÖRNEK 1
$m = 2$ kg, $k = 8$ N/m, $x(0) = 0.1$ m, $v(0) = 0$ m/s
a)Diferansiyel denklemi yazınız.
b)$\omega_0$'ı hesaplayınız.
c)$x(t)$'yi bulunuz.
d)Periyot $T$ ve genliği bulunuz.
✅ ÇÖZÜM
a) $2\ddot{x} + 8x = 0$ ⇒ $\ddot{x} + 4x = 0$
b) $\omega_0 = \sqrt{8/2} = \sqrt{4} = 2$ rad/s
c) $x(t) = 0.1\cos(2t)$ m
d) $T = 2\pi/2 = \pi \approx 3.14$ s, genlik $0.1$ m

📝 Örnek 2: Az Sönümlü Sistem

📘 ÖRNEK 2
$m = 1$ kg, $c = 2$ N·s/m, $k = 10$ N/m, $x(0)=0.05$ m, $v(0)=0$
a)Diferansiyel denklemi yazınız.
b)$\zeta$ nedir? Hangi durum?
c)$\omega_d$'yi bulunuz.
d)$x(t)$'yi bulunuz.
✅ ÇÖZÜM
a) $\ddot{x} + 2\dot{x} + 10x = 0$
b) $\omega_0 = \sqrt{10} \approx 3.162$, $c_c = 2\sqrt{10} \approx 6.325$, $\zeta = 2/6.325 \approx 0.316 < 1$ ⇒ Az sönümlü
c) $\omega_d = 3.162\sqrt{1-0.1} = 3$ rad/s
d) $x(t) = e^{-t}(0.05\cos 3t + 0.0167\sin 3t)$ m

📝 Örnek 3: Kritik Sönümlü Sistem

📘 ÖRNEK 3
$m = 4$ kg, $k = 100$ N/m, kritik sönüm, $x(0)=0.2$ m, $v(0)=0$
a)$c$ kaç olmalıdır?
b)$x(t)$'yi bulunuz.
✅ ÇÖZÜM
a) $c_c = 2\sqrt{4 \times 100} = 40$ N·s/m
b) $\omega_0 = \sqrt{100/4} = 5$, $x(t) = (0.2 + t)e^{-5t}$ m
📋 FORMÜL ÖZETİ

🔴 Genel Denklem

$m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F(t)$

$\ddot{x} + 2\zeta\omega_0\dot{x} + \omega_0^2 x = \dfrac{F(t)}{m}$

🟢 Doğal Frekans

$\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$ (rad/s)

$f = \dfrac{\omega_0}{2\pi}$ (Hz), $T = \dfrac{2\pi}{\omega_0}$ (s)

🟡 Sönüm Parametreleri

$c_c = 2\sqrt{mk}$, $\zeta = \dfrac{c}{c_c}$

$\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2}$

🔵 Durumlar

$\zeta < 1$: Az sönümlü (salınım + sönüm)

$\zeta = 1$: Kritik sönümlü (salınım yok, en hızlı)

$\zeta > 1$: Çok sönümlü (salınım yok, yavaş)

⏱️ Sönümsüz: $x(t) = A\cos(\omega_0 t) + B\sin(\omega_0 t)$   |   Az sönümlü: $x(t) = e^{-\zeta\omega_0 t}(A\cos\omega_d t + B\sin\omega_d t)$   |   Kritik sönümlü: $x(t) = (A + Bt)e^{-\omega_0 t}$   |   Çok sönümlü: $x(t) = A e^{r_1 t} + B e^{r_2 t}$
📌 ÖZET

Kütle-yay sistemi 2. mertebe lineer diferansiyel denklemle modellenir. Sönüm oranı $\zeta$'ya göre sistem az sönümlü (salınım yapar, genliği azalır), kritik sönümlü (en hızlı dönüş) veya çok sönümlü (yavaş dönüş) davranış gösterir. $\zeta = 0$ ise sönüm yoktur ve sistem sonsuza kadar salınır.

← Diferansiyel Denklemler Sayfasına Dön