Leibniz π Serisi | Matematiksel Derinlik

Adım Adım Çözüm

1 Geometrik seriden başla

$|x| < 1$ olduğunda, sonsuz geometrik seri formülünü $x^2$ için yazalım:

$$ \frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} $$

Bu, ortak oranı $-x^2$ olan bir geometrik seridir ve $|x|<1$ için yakınsar.

2 Her iki tarafı integralle

$\dfrac{1}{1+x^2}$ ifadesinin $0$'dan $x$'e integrali $\arctan x$'i verir. Sağ taraftaki seriyi terim terim integralleyelim:

$$ \int_0^x \frac{dt}{1+t^2} = \int_0^x \left( 1 - t^2 + t^4 - t^6 + \cdots \right) dt $$

3 arctan'ın seri açılımını elde et

Sol taraf $\arctan x$'e, sağ taraf ise terim terim integrallenmiş hale gelir:

$$ \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} $$

Bu seri, $|x| \le 1$ için (uç noktalar dahil, Abel teoremi sayesinde) geçerlidir.

4 x = 1 yerine koy

Şimdi $x = 1$ değerini yerine koyalım. Bu, serinin yakınsaklık aralığının sınırında olduğu için özel bir andır — seri burada şartlı yakınsaktır:

$$ \arctan 1 = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots $$

5 arctan(1)'in değerini yerleştir

Trigonometriden biliyoruz ki $\tan(\pi/4) = 1$, dolayısıyla $\arctan 1 = \pi/4$. Bunu yerine koyalım:

$$ \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots $$

Sonuç

$$ \frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} $$

Bu seri matematiksel olarak zarif olsa da, pratikte π'yi hesaplamak için oldukça yavaş yakınsar — π'nin ilk birkaç basamağını doğru bulmak için binlerce terim toplamak gerekir. Yine de tarihsel önemi büyüktür: π'yi geometriden bağımsız, saf bir sonsuz toplam olarak ilk kez gözler önüne sermiştir. Aynı yöntem genelleştirilerek Machin tipi formüllerin ve modern π hesaplama algoritmalarının temelini oluşturmuştur.