Nash Dengesi – Nash Equilibrium

🎯 BU SAYFADA

Nash dengesinin tanımını, saf ve karma strateji durumlarını, bulma yöntemlerini ve klasik örneklerle uygulamalarını öğreneceksiniz. Oyun teorisinin en önemli kavramı olan Nash dengesi, John Nash'in 1950 doktora tezinde ortaya koyduğu devrim niteliğinde bir fikirdir.

📖 Nash Dengesi Nedir?

Nash dengesi, bir oyunda hiçbir oyuncunun tek başına stratejisini değiştirerek kazancını artıramadığı durumdur. Başka bir deyişle, her oyuncu diğer oyuncuların stratejilerini veri alarak kendisi için en iyi tepkiyi (best response) oynuyorsa, bu strateji profili bir Nash dengesidir.

🔵 FORMAL TANIM (2 oyunculu)

(s_1^*, s_2^*) \text{ bir Nash dengesidir} \iff $$ $$ u_1(s_1^*, s_2^*) \ge u_1(s_1, s_2^*) \quad \forall s_1 \in S_1 $$ $$ u_2(s_1^*, s_2^*) \ge u_2(s_1^*, s_2) \quad \forall s_2 \in S_2

$u_i$: $i$ oyuncusunun getiri fonksiyonu, $S_i$: $i$ oyuncusunun strateji kümesi.

🔍 Nash Dengesi Nasıl Bulunur?

En İyi Tepki Fonksiyonlarını Bul

Her oyuncu için, rakibin her stratejisine karşı en iyi cevabı belirle.

Kesişimleri Bul

Tüm oyuncuların en iyi tepkilerinin kesiştiği strateji profillerini bul.

Kontrol Et

Bulunan her profilde hiçbir oyuncunun tek başına sapma (değiştirme) kazancı olmadığını doğrula.

📝 Örnek 1: Mahkum İkilemi (Prisoner's Dilemma)

İki suçlu ayrı odalarda sorgulanıyor. Her biri İtiraf Et (İ) veya Sus (S) stratejilerine sahip. Getiri matrisi (yıl olarak hapis cezası, negatif değerler tercih edilir):

\begin{array}{c|cc} & \text{B: İtiraf} & \text{B: Sus} \\ \hline \text{A: İtiraf} & (-5, -5) & (0, -10) \\ \text{A: Sus} & (-10, 0) & (-1, -1) \end{array}

ÇÖZÜMMahkum İkilemi'nde Nash Dengesi

Oyuncu A'nın analizi:

Eğer B itiraf ederse: A için İtiraf = -5, Sus = -10 → İtiraf daha iyi
Eğer B susarsa: A için İtiraf = 0, Sus = -1 → İtiraf daha iyi

Oyuncu B'nin analizi (simetri): B için de her durumda itiraf etmek daha iyidir.

Nash Dengesi: (İtiraf, İtiraf) → her iki oyuncu da -5 hapis cezası alır.

⚠️ PARADOKS

(Sus, Sus) olsaydı her ikisi de -1 alacaktı (daha iyi toplam sonuç). Ancak bireysel rasyonellik, herkesin itiraf etmesine yol açar. Bu, Nash dengesinin her zaman sosyal olarak optimal olmadığını gösterir.

📝 Örnek 2: Cinsiyet Savaşı (Battle of the Sexes)

Bir çift akşam planı yapıyor. İkisi de birlikte olmak istiyor ama farklı etkinlikleri tercih ediyor. A Bale (B)'yi, B Futbol (F)'u tercih ediyor. Birlikte olmak ayrı olmaktan daha iyi.

\begin{array}{c|cc} & \text{B: Bale} & \text{B: Futbol} \\ \hline \text{A: Bale} & (2, 1) & (0, 0) \\ \text{A: Futbol} & (0, 0) & (1, 2) \end{array}

ÇÖZÜMBattle of the Sexes'te Nash Dengeleri

Adım 1: En iyi tepkiler

A için: B Bale oynarsa A'nın en iyi tepkisi Bale (2>0). B Futbol oynarsa A'nın en iyi tepkisi Futbol (1>0).
B için: A Bale oynarsa B'nin en iyi tepkisi Bale (1>0). A Futbol oynarsa B'nin en iyi tepkisi Futbol (2>0).

Adım 2: Kesişimler

(Bale, Bale): A'nın tepkisi Bale ✓, B'nin tepkisi Bale ✓ → Nash dengesi
(Futbol, Futbol): A'nın tepkisi Futbol ✓, B'nin tepkisi Futbol ✓ → Nash dengesi

Sonuç: Bu oyunda iki saf strateji Nash dengesi vardır. Ayrıca bir karma strateji Nash dengesi de bulunur (sonraki bölümde).

📝 Örnek 3: Saf Strateji Nash Dengesi Olmayan Oyun (Matching Pennies)

İki oyuncu aynı anda yazı (Y) veya tura (T) gösterir. Aynı gelirse A kazanır, farklı gelirse B kazanır.

\begin{array}{c|cc} & \text{B: Y} & \text{B: T} \\ \hline \text{A: Y} & (1, -1) & (-1, 1) \\ \text{A: T} & (-1, 1) & (1, -1) \end{array}

ÇÖZÜMSaf Strateji Nash Dengesi Yok

En iyi tepkiler:

A için: B Y → A Y (1 > -1); B T → A T (1 > -1)
B için: A Y → B T (1 > -1); A T → B Y (1 > -1)

Hiçbir hücrede en iyi tepkiler kesişmez. Bu oyunda saf strateji Nash dengesi yoktur. Ancak karma strateji Nash dengesi vardır.

🎲 Karma Strateji Nash Dengesi

Karma strateji, oyuncunun stratejileri arasında bir olasılık dağılımı kullanmasıdır. 2×2 oyunlarda karma strateji dengesi, beklenen getirileri eşitleme yöntemiyle bulunur.

🟢 KARMA STRATEJİ NASH DENGESİ BULMA YÖNTEMİ (2×2)

Adımlar:

▪️ A oyuncusu Y stratejisini $p$ olasılıkla, T stratejisini $1-p$ olasılıkla oynasın.
▪️ B oyuncusu Y stratejisini $q$ olasılıkla, T stratejisini $1-q$ olasılıkla oynasın.
▪️ A'nın beklenen getirisini $q$'ya göre yaz. A'nın $p$'yi $q$'dan bağımsız kılmak için $q$ öyle seçilir ki A'nın iki stratejisinin beklenen getirisi eşit olur.
▪️ Benzer şekilde B için $p$ bulunur.

📝 Örnek 4: Matching Pennies'te Karma Strateji Nash Dengesi

ÇÖZÜMMatching Pennies Karma Denge

A oyuncusu Y'yi $p$, T'yi $1-p$ olasılıkla oynasın.
B oyuncusu Y'yi $q$, T'yi $1-q$ olasılıkla oynasın.

A'nın beklenen getirisi:

E_A(Y) = q \cdot 1 + (1-q) \cdot (-1) = 2q - 1 $$ $$ E_A(T) = q \cdot (-1) + (1-q) \cdot 1 = 1 - 2q

A'nın karma strateji oynamaya istekli olması için $E_A(Y) = E_A(T)$ olmalıdır:

2q - 1 = 1 - 2q \implies 4q = 2 \implies q = \frac{1}{2}

B'nin beklenen getirisi:

E_B(Y) = p \cdot (-1) + (1-p) \cdot 1 = 1 - 2p $$ $$ E_B(T) = p \cdot 1 + (1-p) \cdot (-1) = 2p - 1

B'nin karma strateji oynaması için $E_B(Y) = E_B(T)$:

1 - 2p = 2p - 1 \implies 4p = 2 \implies p = \frac{1}{2}

Karma Strateji Nash Dengesi: A: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$, B: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Yani her iki oyuncu da yazı ve turayı eşit olasılıkla rastgele seçmelidir. Oyunun değeri: $E = 0$ (beklenen getiri sıfır).

📊 Saf vs Karma Strateji Nash Dengesi Karşılaştırması

Özellik	Saf Strateji Nash Dengesi	Karma Strateji Nash Dengesi
Strateji	Belirli bir aksiyon (Örn: hep İtiraf)	Olasılık dağılımı (Örn: %50 Y, %50 T)
Varlık	Her oyunda yoktur	Her sonlu oyunda vardır* (Nash, 1950)
Bulma Yöntemi	En iyi tepki kesişimi	Beklenen getiri eşitleme / Doğrusal programlama
Örnek	Mahkum İkilemi (İ,İ)	Matching Pennies (½,½)

*Nash'ın varlık teoremi: Sonlu sayıda oyuncu ve sonlu sayıda saf strateji içeren her oyunda en az bir Nash dengesi (saf veya karma) vardır.

📋 Nash Dengesi Örnekleri Özet Tablosu

Oyun	Saf Strateji Nash Dengeleri	Karma Strateji Nash Dengesi
Mahkum İkilemi	(İtiraf, İtiraf)	Yok (saf denge baskın)
Cinsiyet Savaşı	(Bale, Bale) ve (Futbol, Futbol)	Var ($p=\frac{2}{3}, q=\frac{1}{3}$)
Matching Pennies	Yok	Var ($p=\frac{1}{2}, q=\frac{1}{2}$)
Güven Oyunu	(Güven, Kazanç)	—
Tavuk Oyunu (Chicken)	(Y, D) ve (D, Y)	Var

📌 ÖZET: NASH DENGESİ

Nash dengesi = Hiçbir oyuncunun tek başına sapma (strateji değiştirme) isteği duymadığı durum

▪️ John Nash tarafından 1950'de doktora tezinde ortaya konmuştur.
▪️ 1994'te Nash, Harsanyi ve Selten ile birlikte Nobel Ekonomi Ödülü almıştır.
▪️ Nash'ın varlık teoremi: Her sonlu oyunda en az bir Nash dengesi vardır.
▪️ Nash dengesi her zaman Pareto-optimal (sosyal açıdan en iyi) olmak zorunda değildir (Mahkum İkilemi).
▪️ Bir oyunda birden fazla Nash dengesi olabilir (Battle of the Sexes).

← Ana Oyun Teorisi sayfasına dön