🔋 Fiziksel Model: Kirchhoff'un Gerilim Yasası (KVL)
Bir RC devresi, bir direnç (R), bir kondansatör (C) ve bir gerilim kaynağı (V)'ndan oluşur. Kirchhoff'un gerilim yasasına göre, kapalı bir devredeki gerilim düşümlerinin toplamı sıfırdır:
$$ V_R + V_C = V(t) $$
Devre elemanlarının gerilim ifadeleri:
- Direnç gerilimi (Ohm Yasası): $V_R = i \cdot R$
- Kondansatör gerilimi: $V_C = \frac{q}{C}$ (q: kondansatördeki yük, C: kapasitans)
- Akım ile yük arasındaki ilişki: $i = \dfrac{dq}{dt}$
Bu ifadeleri Kirchhoff denkleminde yerine koyarsak:
$$ R \frac{dq}{dt} + \frac{1}{C} q = V(t) $$
Düzenlersek 1. mertebe lineer diferansiyel denklemi elde ederiz:
$$ \frac{dq}{dt} + \frac{1}{RC} q = \frac{V(t)}{R} $$
🔋 ÖZEL DURUM: SABİT GERİLİM KAYNAĞI
Eğer gerilim kaynağı sabit ise $V(t) = V_0$ (bir pil gibi), denklem şu hale gelir:
$$ \frac{dq}{dt} + \frac{1}{RC} q = \frac{V_0}{R} $$
⏱️ ZAMAN SABİTİ (τ)
RC devresinde zaman sabiti $\tau = RC$ olarak tanımlanır. Kondansatörün şarj/deşarj hızını belirler. $t = \tau$ süresinde şarjda son değerin $63\%$'üne, deşarjda başlangıç değerinin $37\%$'sine ulaşılır.
📐 Diferansiyel Denklemin Çözümü (İntegrasyon Çarpanı)
1
İntegrasyon çarpanını bulalım:
$\mu(t) = e^{\int \frac{1}{RC} dt} = e^{\frac{t}{RC}}$
2
Denklemi $\mu(t)$ ile çarpalım:
$e^{\frac{t}{RC}} \frac{dq}{dt} + \frac{1}{RC} e^{\frac{t}{RC}} q = \frac{V_0}{R} e^{\frac{t}{RC}}$
3
Sol taraf türev haline gelir:
$\frac{d}{dt}\left( q \cdot e^{\frac{t}{RC}} \right) = \frac{V_0}{R} e^{\frac{t}{RC}}$
4
Her iki tarafın integralini alalım:
$q e^{\frac{t}{RC}} = \int \frac{V_0}{R} e^{\frac{t}{RC}} dt = V_0 C e^{\frac{t}{RC}} + C$
5
$q(t)$'yi çekelim:
$q(t) = V_0 C + C e^{-\frac{t}{RC}}$
6
Başlangıç koşulunu ($q(0)=q_0$) uygulayalım:
$q(0) = V_0 C + C = q_0 \Rightarrow C = q_0 - V_0 C$
Sonuç olarak yük fonksiyonu:
$$ q(t) = V_0 C + (q_0 - V_0 C) e^{-\frac{t}{RC}} $$
💡 ÖZEL DURUMLAR
① Başlangıçta boş kondansatör (şarj, $q_0 = 0$): $q(t) = V_0 C (1 - e^{-t/RC})$, $\quad i(t) = \dfrac{V_0}{R} e^{-t/RC}$
② Kondansatörün deşarjı ($V_0 = 0$, $q_0 \neq 0$): $q(t) = q_0 e^{-t/RC}$, $\quad i(t) = -\dfrac{q_0}{RC} e^{-t/RC}$
③ Denge durumu ($t \to \infty$): $q(\infty) = V_0 C$, $\quad i(\infty) = 0$
📝 Örnek 1: Kondansatörün Şarj Olması
a)Diferansiyel denklemi yazınız.
b)$q(t)$'yi bulunuz.
c)$i(t)$'yi bulunuz.
d)$\tau$'yı ve $q(\tau)$'yi hesaplayınız. ($e^{-1} \approx 0.3679$)
e)$q_{max}$ kaç C'dur?
✅ ÇÖZÜM
a) $RC = 1$ s ⇒ $\dfrac{dq}{dt} + q = 0.012$
b) $q(t) = 0.012(1 - e^{-t})$ C
c) $i(t) = 0.012 e^{-t}$ A
d) $\tau = 1$ s, $q(1) = 0.012(1 - e^{-1}) = 0.007585$ C
e) $q_{max} = V_0 C = 0.012$ C
📝 Örnek 2: Kondansatörün Deşarj Olması
a)Diferansiyel denklemi yazınız.
b)$q(t)$'yi bulunuz.
c)$i(t)$'yi bulunuz. (Yön belirtiniz)
d)$\tau$'yı ve $q(\tau)$'yi hesaplayınız.
e)Yükün $0.001$ C'ye düşme süresi? ($\ln 10 \approx 2.3026$)
✅ ÇÖZÜM
a) $RC = 1$ s ⇒ $\dfrac{dq}{dt} + q = 0$
b) $q(t) = 0.01 e^{-t}$ C
c) $i(t) = -0.01 e^{-t}$ A (negatif işaret akımın ters yönde olduğunu gösterir)
d) $\tau = 1$ s, $q(1) = 0.01 e^{-1} = 0.003679$ C
e) $0.01 e^{-t} = 0.001 \Rightarrow e^{-t} = 0.1 \Rightarrow t = \ln 10 \approx 2.3026$ s
📋 FORMÜL ÖZETİ
🔴 Genel Diferansiyel Denklem
$R \dfrac{dq}{dt} + \dfrac{1}{C} q = V(t)$
$\dfrac{dq}{dt} + \dfrac{1}{RC} q = \dfrac{V(t)}{R}$
🟢 Genel Çözüm (Sabit V₀)
$q(t) = V_0 C + (q_0 - V_0 C) e^{-t/RC}$
$i(t) = \dfrac{V_0 - q_0/C}{R} e^{-t/RC}$
🟡 Şarj Durumu (q₀ = 0)
$q(t) = V_0 C (1 - e^{-t/RC})$
$i(t) = \dfrac{V_0}{R} e^{-t/RC}$
🔵 Deşarj Durumu (V₀ = 0)
$q(t) = q_0 e^{-t/RC}$
$i(t) = -\dfrac{q_0}{RC} e^{-t/RC}$
⏱️ Zaman Sabiti: $\tau = RC$ |
Şarjda (t=τ): $q \approx 0.632 \cdot V_0 C$ |
Deşarjda (t=τ): $q \approx 0.368 \cdot q_0$ |
Denge (t→∞): $q_\infty = V_0 C,\; i_\infty = 0$
📌 ÖZET
Kirchhoff'un gerilim yasası $V_R + V_C = V(t)$ ile $V_R = iR$, $V_C = q/C$ ve $i = dq/dt$ kullanılarak diferansiyel denklem kurulur. İntegrasyon çarpanı yöntemiyle çözülür. Zaman sabiti $\tau = RC$ şarj/deşarj hızını belirler.
← Ana modül sayfasına dön