Şekil 1: Seri RLC devresi - R: direnç, L: endüktans, C: kapasitans, v_s(t): kaynak gerilimi, i(t): akım
🔌 Kirchhoff'un Gerilim Yasası (KGV)
Kirchhoff'un gerilim yasasına göre, kapalı bir devredeki gerilim düşümlerinin toplamı sıfırdır:
$$ v_s(t) - v_R(t) - v_L(t) - v_C(t) = 0 $$
veya
$$ v_R(t) + v_L(t) + v_C(t) = v_s(t) $$
Devre elemanlarının gerilim ifadeleri:
- Direnç gerilimi (Ohm Yasası): $v_R(t) = R \cdot i(t)$
- Endüktans gerilimi (Faraday Yasası): $v_L(t) = L \dfrac{di(t)}{dt}$
- Kapasitans gerilimi: $v_C(t) = \dfrac{1}{C} \int i(t) dt$
📐 RLC Devresinin Diferansiyel Denklemi
Kirchhoff denkleminde gerilim ifadelerini yerine koyarsak:
$$ L \frac{di(t)}{dt} + R i(t) + \frac{1}{C} \int i(t) dt = v_s(t) $$
Her iki tarafın türevini alarak integralden kurtulursak:
$$ L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + R \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} i(t) = \frac{dv_s(t)}{dt} $$
⚡ RLC DEVRESİNİN DİFERANSİYEL DENKLEMİ
$$ L \frac{d^2i}{dt^2} + R \frac{di}{dt} + \frac{1}{C} i = \frac{dv_s}{dt} $$
Bu, 2. mertebe lineer diferansiyel denklemdir. $L$ (endüktans), $R$ (direnç), $C$ (kapasitans) devre parametreleridir.
🔋 Doğal Tepki ($v_s(t) = 0$)
Kaynak gerilimi sıfır olduğunda (deşarj durumu), diferansiyel denklem homojen hale gelir:
$$ L \frac{d^2i}{dt^2} + R \frac{di}{dt} + \frac{1}{C} i = 0 $$
🔴 KARAKTERİSTİK DENKLEM
$i(t) = e^{rt}$ çözümünü denersek:
$$ L r^2 + R r + \frac{1}{C} = 0 $$
Bu karakteristik denklemin kökleri, devrenin doğal tepkisini belirler.
📊 Devre Davranışı ve Sönüm Durumları
Karakteristik denklemin diskriminantı $\Delta = R^2 - \frac{4L}{C}$'dir. Buna göre üç durum vardır:
Durum 1: Az Sönümlü (Underdamped) - $R^2 < \frac{4L}{C}$
$$ i(t) = e^{-\alpha t} \left( A \cos(\omega_d t) + B \sin(\omega_d t) \right) $$
Burada $\alpha = \frac{R}{2L}$ (sönüm katsayısı), $\omega_d = \sqrt{\frac{1}{LC} - \left(\frac{R}{2L}\right)^2}$ (sönümlü frekans). Devre salınım yapar, genlik üstel olarak azalır.
Durum 2: Kritik Sönümlü (Critically Damped) - $R^2 = \frac{4L}{C}$
$$ i(t) = (A + Bt) e^{-\alpha t} $$
Salınım yok, en hızlı şekilde sıfıra döner. Kritik sönüm direnci $R_c = 2\sqrt{\frac{L}{C}}$'dir.
Durum 3: Çok Sönümlü (Overdamped) - $R^2 > \frac{4L}{C}$
$$ i(t) = A e^{r_1 t} + B e^{r_2 t} $$
Burada $r_1, r_2$ negatif reel sayılardır. Salınım yok, yavaşça sıfıra döner.
💡 Devredeki Enerjiler
🔋 Endüktörde depolanan manyetik enerji
$$ W_L = \frac{1}{2} L i^2(t) $$
Akımın karesiyle doğru orantılıdır. Manyetik alan şeklinde depolanır.
⚡ Kapasitörde depolanan elektriksel enerji
$$ W_C = \frac{1}{2} C v_C^2(t) $$
Gerilimin karesiyle doğru orantılıdır. Elektrik alan şeklinde depolanır.
📌 FİZİKSEL ANLAM
RLC devreleri enerji depolama ve enerji kaybı içerir. $L$ manyetik enerji, $C$ elektriksel enerji depolar. $R$ ise enerjiyi ısıya dönüştürerek sönümler. Devrenin davranışı bu üç elemanın etkileşimine bağlıdır.
📝 Örnek 1: Az Sönümlü RLC Devresi
a)Diferansiyel denklemi yazınız.
b)$\alpha$, $\omega_0$, $\omega_d$'yi hesaplayınız. Hangi durum?
c)$i(t)$ akım fonksiyonunu bulunuz.
✅ ÇÖZÜM
a) $L\ddot{i} + R\dot{i} + \frac{1}{C}i = \dot{v}_s$ ⇒ $1\cdot\ddot{i} + 2\dot{i} + 10i = 0$ (sabit kaynakta $\dot{v}_s=0$)
b) $\alpha = \frac{R}{2L} = \frac{2}{2} = 1$
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{0.1}} = \sqrt{10} \approx 3.162$ rad/s
$\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2} = \sqrt{10 - 1} = \sqrt{9} = 3$ rad/s
$\alpha < \omega_0$ ⇒ Az sönümlü
c) $i(t) = e^{-\alpha t}(A\cos\omega_d t + B\sin\omega_d t) = e^{-t}(A\cos 3t + B\sin 3t)$
$i(0)=0$ ⇒ $A = 0$
$\dot{i}(t) = -e^{-t}(A\cos 3t + B\sin 3t) + e^{-t}(-3A\sin 3t + 3B\cos 3t)$
$\dot{i}(0) = -A + 3B = 0$ ⇒ $3B = 0$ ⇒ $B = 0$ ⇒ $i(t) = 0$
Sabit kaynakta DC durumunda endüktans kısa devre, kondansatör açık devre gibi davranır, akım sıfırdır. Daha ilginç bir örnek için başlangıç koşulları farklı olmalıdır.
📝 Örnek 2: Deşarj RLC Devresi
a)Diferansiyel denklemi yazınız.
b)$i(t)$ akım fonksiyonunu bulunuz.
c)Endüktörde depolanan manyetik enerji $W_L(t)$'yi bulunuz.
✅ ÇÖZÜM
a) $\ddot{i} + 2\dot{i} + 10i = 0$
b) $\alpha = 1$, $\omega_d = 3$ ⇒ $i(t) = e^{-t}(A\cos 3t + B\sin 3t)$
$i(0)=2$ ⇒ $A = 2$
$\dot{i}(t) = -e^{-t}(A\cos 3t + B\sin 3t) + e^{-t}(-3A\sin 3t + 3B\cos 3t)$
$\dot{i}(0) = -A + 3B = 0$ ⇒ $3B = 2$ ⇒ $B = \frac{2}{3} \approx 0.667$
$\boxed{i(t) = e^{-t}\left(2\cos 3t + \frac{2}{3}\sin 3t\right) \text{ A}}$
c) $W_L(t) = \frac{1}{2} L i^2(t) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot e^{-2t}\left(2\cos 3t + \frac{2}{3}\sin 3t\right)^2$
$\boxed{W_L(t) = \frac{1}{2} e^{-2t}\left(2\cos 3t + \frac{2}{3}\sin 3t\right)^2 \text{ J}}$
📝 Örnek 3: Kritik Sönümlü RLC Devresi
a)Kritik sönüm direnci $R_c$ kaç $\Omega$'dur?
b)$i(t)$ akım fonksiyonunu bulunuz.
✅ ÇÖZÜM
a) $R_c = 2\sqrt{\frac{L}{C}} = 2\sqrt{\frac{2}{0.5}} = 2\sqrt{4} = 2 \times 2 = 4\ \Omega$
b) $\alpha = \frac{R}{2L} = \frac{4}{4} = 1$, $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1$ rad/s
Kritik sönümlü: $i(t) = (A + Bt)e^{-\alpha t} = (A + Bt)e^{-t}$
$i(0)=1$ ⇒ $A = 1$
$\dot{i}(t) = Be^{-t} - (A + Bt)e^{-t}$, $\dot{i}(0) = B - A = 0$ ⇒ $B = A = 1$
$\boxed{i(t) = (1 + t)e^{-t} \text{ A}}$
📝 Örnek 4: Çok Sönümlü RLC Devresi
a)Karakteristik denklemin köklerini bulunuz.
b)$i(t)$ akım fonksiyonunu bulunuz.
✅ ÇÖZÜM
a) Karakteristik denklem: $r^2 + 10r + 10 = 0$
$r = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 40}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{-10 \pm 7.746}{2}$
$r_1 = -1.127$, $r_2 = -8.873$ (ikisi de negatif reel)
b) $i(t) = A e^{r_1 t} + B e^{r_2 t} = A e^{-1.127t} + B e^{-8.873t}$
$i(0)=2$ ⇒ $A + B = 2$
$\dot{i}(t) = -1.127A e^{-1.127t} - 8.873B e^{-8.873t}$, $\dot{i}(0)=0$ ⇒ $-1.127A - 8.873B = 0$
$B = 2 - A$, $-1.127A - 8.873(2 - A) = 0$ ⇒ $-1.127A - 17.746 + 8.873A = 0$
$7.746A = 17.746$ ⇒ $A \approx 2.29$, $B \approx -0.29$
$\boxed{i(t) = 2.29 e^{-1.127t} - 0.29 e^{-8.873t} \text{ A}}$
📋 FORMÜL ÖZETİ
🔴 Kirchhoff Gerilim Yasası
$v_s(t) - v_R(t) - v_L(t) - v_C(t) = 0$
$v_R = Ri$, $v_L = L\frac{di}{dt}$, $v_C = \frac{1}{C}\int i dt$
🟢 Diferansiyel Denklem
$L\frac{d^2i}{dt^2} + R\frac{di}{dt} + \frac{1}{C}i = \frac{dv_s}{dt}$
$v_s$ sabit ise sağ taraf = 0
🟡 Karakteristik Denklem
$Lr^2 + Rr + \frac{1}{C} = 0$
$R_c = 2\sqrt{\frac{L}{C}}$, $\alpha = \frac{R}{2L}$, $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
🔵 Enerjiler
$W_L = \frac{1}{2}Li^2$ (manyetik)
$W_C = \frac{1}{2}Cv_C^2$ (elektriksel)
⏱️ SÖNÜM DURUMLARI:
$R^2 < \frac{4L}{C}$: Az sönümlü (salınım) |
$R^2 = \frac{4L}{C}$: Kritik sönümlü (en hızlı) |
$R^2 > \frac{4L}{C}$: Çok sönümlü (yavaş)
📌 ÖZET
RLC devresi, 2. mertebe lineer diferansiyel denklemle modellenir. Kirchhoff'un gerilim yasası temel alınır. Devre, $R$, $L$, $C$ değerlerine bağlı olarak az sönümlü (salınım), kritik sönümlü veya çok sönümlü davranış gösterir. $L$ manyetik enerji, $C$ elektriksel enerji depolar, $R$ enerjiyi ısıya dönüştürür.
← Diferansiyel Denklemler Sayfasına Dön