🪨 Fiziksel Model: Newton'un İkinci Yasası
Newton'un ikinci yasasına göre, bir cismin üzerine etki eden net kuvvet, kütle ile ivmenin çarpımına eşittir. İvme, hızın zamana göre türevidir: $a = dv/dt$.
$$ F_{net} = m \cdot a = m \frac{dv}{dt} $$
Serbest düşen bir cisme iki kuvvet etki eder:
- Yerçekimi (Ağırlık): $F_g = mg$ (aşağı yönlü, pozitif)
- Hava direnci: $F_{hava} = -kv$ (hız yönüne zıt, yukarı yönlü, negatif, $k>0$)
Net kuvvet:
$$ F_{net} = F_g + F_{hava} = mg - kv $$
Newton'un ikinci yasasında $F_{net} = m \frac{dv}{dt}$ olduğu için bu iki ifadeyi eşitleriz:
$$ m \frac{dv}{dt} = mg - kv $$
Her iki tarafı $m$'ye bölüp düzenlersek 1. mertebe lineer diferansiyel denklemi elde ederiz:
$$ \frac{dv}{dt} + \frac{k}{m} v = g $$
🔧 Diferansiyel Denklemin Çözümü (İntegrasyon Çarpanı Yöntemi)
Denklem: $\displaystyle \frac{dv}{dt} + \frac{k}{m} v = g$ şeklindedir. Bu, $\frac{dv}{dt} + P(t)v = Q(t)$ formunda bir lineer diferansiyel denklemdir.
1
İntegrasyon çarpanını bulalım:
$\mu(t) = e^{\int P(t) dt} = e^{\int \frac{k}{m} dt} = e^{\frac{k}{m}t}$
2
Denklemi $\mu(t)$ ile çarpalım:
$e^{\frac{k}{m}t} \frac{dv}{dt} + \frac{k}{m} e^{\frac{k}{m}t} v = g e^{\frac{k}{m}t}$
3
Sol taraf türev haline gelir:
$\frac{d}{dt}\left( v \cdot e^{\frac{k}{m}t} \right) = g e^{\frac{k}{m}t}$
4
Her iki tarafın integralini alalım:
$v e^{\frac{k}{m}t} = \int g e^{\frac{k}{m}t} dt = \frac{mg}{k} e^{\frac{k}{m}t} + C$
5
$v(t)$'yi çekelim:
$v(t) = \frac{mg}{k} + C e^{-\frac{k}{m}t}$
6
Başlangıç koşulunu ($v(0)=v_0$) uygulayalım:
$v(0) = \frac{mg}{k} + C = v_0 \Rightarrow C = v_0 - \frac{mg}{k}$
Sonuç olarak hız fonksiyonu:
$$ v(t) = \frac{mg}{k} + \left(v_0 - \frac{mg}{k}\right) e^{-\frac{k}{m}t} $$
💡 TERMİNAL HIZ (UÇ HIZ)
$t \to \infty$ iken $e^{-\frac{k}{m}t} \to 0$ olduğu için hız sabit bir değere yaklaşır: $\displaystyle v_T = \lim_{t \to \infty} v(t) = \frac{mg}{k}$. Bu hız, hava direncinin yerçekimini dengelediği ($mg = kv_T$) hızdır.
📝 Örnek 1
a)
Problemin diferansiyel denklemini yazınız.
b)
Diferansiyel denklemi çözerek $v(t)$ hız fonksiyonunu bulunuz.
c)
Terminal hızı $v_T$ hesaplayınız.
✅ ÇÖZÜM
a) Diferansiyel denklem: $m\frac{dv}{dt} = mg - kv$ ⇒ $80\frac{dv}{dt} = 80 \cdot 9.8 - 10v$ ⇒ $\boxed{80\frac{dv}{dt} = 784 - 10v}$
b) Çözüm: Düzenlersek: $\frac{dv}{dt} + \frac{10}{80}v = 9.8$ ⇒ $\frac{dv}{dt} + 0.125v = 9.8$
İntegrasyon çarpanı: $\mu(t) = e^{\int 0.125 dt} = e^{0.125t}$
$\frac{d}{dt}(v e^{0.125t}) = 9.8 e^{0.125t}$ ⇒ $v e^{0.125t} = \frac{9.8}{0.125} e^{0.125t} + C = 78.4 e^{0.125t} + C$
$v(t) = 78.4 + C e^{-0.125t}$
$v(0)=0$ ⇒ $0 = 78.4 + C$ ⇒ $C = -78.4$
$\boxed{v(t) = 78.4(1 - e^{-0.125t}) \text{ m/s}}$
c) Terminal hız: $v_T = \lim_{t\to\infty} v(t) = 78.4$ m/s ⇒ $\boxed{v_T = 78.4 \text{ m/s}}$
📝 Örnek 2
a)
Problemin diferansiyel denklemini yazınız.
b)
Diferansiyel denklemi çözerek $v(t)$ hız fonksiyonunu bulunuz.
c)
Terminal hızı $v_T$ hesaplayınız.
d)
$t = 5$ saniyedeki hızı bulunuz. ($e^{-0.5} \approx 0.6065$)
e)
Cisim terminal hızın %90'ına (88.2 m/s) kaç saniyede ulaşır? ($\ln 0.111 \approx -2.197$)
✅ ÇÖZÜM
a) Diferansiyel denklem: $m\frac{dv}{dt} = mg - kv$ ⇒ $50\frac{dv}{dt} = 50 \cdot 9.8 - 5v$ ⇒ $\boxed{50\frac{dv}{dt} = 490 - 5v}$
b) Çözüm: Düzenlersek: $\frac{dv}{dt} + \frac{5}{50}v = 9.8$ ⇒ $\frac{dv}{dt} + 0.1v = 9.8$
İntegrasyon çarpanı: $\mu(t) = e^{\int 0.1 dt} = e^{0.1t}$
$\frac{d}{dt}(v e^{0.1t}) = 9.8 e^{0.1t}$ ⇒ $v e^{0.1t} = \frac{9.8}{0.1} e^{0.1t} + C = 98 e^{0.1t} + C$
$v(t) = 98 + C e^{-0.1t}$
$v(0)=10$ ⇒ $10 = 98 + C$ ⇒ $C = -88$
$\boxed{v(t) = 98 - 88 e^{-0.1t} \text{ m/s}}$
c) Terminal hız: $v_T = \lim_{t\to\infty} v(t) = 98$ m/s ⇒ $\boxed{v_T = 98 \text{ m/s}}$
d) $t=5$'teki hız: $v(5) = 98 - 88 e^{-0.5} \approx 98 - 88 \cdot 0.6065 = 98 - 53.372 = \boxed{44.628 \text{ m/s}}$
e) %90'a ulaşma süresi: $98 - 88 e^{-0.1t} = 0.9 \cdot 98 = 88.2$ ⇒ $88 e^{-0.1t} = 9.8$ ⇒ $e^{-0.1t} = \frac{9.8}{88} = 0.11136$
$-0.1t = \ln(0.11136) \approx -2.197$ ⇒ $t = \frac{2.197}{0.1} = \boxed{21.97 \text{ s}}$
📋 Formül Özeti
| Büyüklük | Formül |
|---|
| Diferansiyel Denklem | $m\frac{dv}{dt} = mg - kv$ |
| Düzenlenmiş Denklem | $\frac{dv}{dt} + \frac{k}{m}v = g$ |
| Hız (genel çözüm) | $v(t) = \frac{mg}{k} + \left(v_0 - \frac{mg}{k}\right) e^{-\frac{k}{m}t}$ |
| Terminal Hız | $v_T = \frac{mg}{k}$ |
📌 ÖZET
Newton'un ikinci yasası $F_{net}=m\frac{dv}{dt}$ ile kuvvetlerin toplamı $mg-kv$ eşitlenerek diferansiyel denklem kurulur. İntegrasyon çarpanı yöntemiyle çözülür. Çözüm üstel olarak terminal hıza $v_T = mg/k$ yaklaşır.
← Ana modül sayfasına dön