Aşağıdaki tablo, ayrık zamanlı sinyal işlemede en sık karşılaşılan Z dönüşümü çiftlerini içerir. Her girişte sinyal $x[n]$, Z dönüşümü $X(z)$ ve Yakınsama Bölgesi (ROC) verilmiştir. Tabloyu referans olarak kullanabilir, ters Z dönüşümü problemlerinde hızla sonuca ulaşabilirsiniz.
| Sinyal $x[n]$ | Z Dönüşümü $X(z)$ | Yakınsama Bölgesi (ROC) | Açıklama |
|---|---|---|---|
| $\delta[n]$ | $1$ | Tüm $z$ | Birim dürtü (unit impulse) |
| $\delta[n-k]$ | $z^{-k}$ | $0 < |z| < \infty$ (veya $z \neq 0$) | Gecikmeli dürtü, $k>0$ |
| $u[n]$ | $\dfrac{z}{z-1}$ | $|z| > 1$ | Birim basamak (unit step) |
| $-u[-n-1]$ | $\dfrac{z}{z-1}$ | $|z| < 1$ | Anti-nedensel basamak |
| $a^n u[n]$ | $\dfrac{z}{z-a}$ | $|z| > |a|$ | Nedensel üstel dizi |
| $-a^n u[-n-1]$ | $\dfrac{z}{z-a}$ | $|z| < |a|$ | Anti-nedensel üstel dizi |
| $n a^n u[n]$ | $\dfrac{a z}{(z-a)^2}$ | $|z| > |a|$ | Üstel rampa |
| $n^2 a^n u[n]$ | $\dfrac{a z (z+a)}{(z-a)^3}$ | $|z| > |a|$ | İkinci derece üstel |
| $\cos(\omega_0 n)\, u[n]$ | $\dfrac{z(z - \cos\omega_0)}{z^2 - 2z\cos\omega_0 + 1}$ | $|z| > 1$ | Kosinüs |
| $\sin(\omega_0 n)\, u[n]$ | $\dfrac{z \sin\omega_0}{z^2 - 2z\cos\omega_0 + 1}$ | $|z| > 1$ | Sinüs |
| $a^n \cos(\omega_0 n)\, u[n]$ | $\dfrac{z(z - a\cos\omega_0)}{z^2 - 2a z \cos\omega_0 + a^2}$ | $|z| > |a|$ | Sönümlü kosinüs |
| $a^n \sin(\omega_0 n)\, u[n]$ | $\dfrac{a z \sin\omega_0}{z^2 - 2a z \cos\omega_0 + a^2}$ | $|z| > |a|$ | Sönümlü sinüs |
| $r^n \cos(\omega_0 n + \theta)\, u[n]$ | $\dfrac{z\bigl[z\cos\theta - r\cos(\omega_0 - \theta)\bigr]}{z^2 - 2r z \cos\omega_0 + r^2}$ | $|z| > r$ | Genel sönümlü sinüzoid |
| $n u[n]$ | $\dfrac{z}{(z-1)^2}$ | $|z| > 1$ | Rampa (birim artan) |
| $n^2 u[n]$ | $\dfrac{z(z+1)}{(z-1)^3}$ | $|z| > 1$ | İkinci derece rampa |
| $\delta[n] + \delta[n-1]$ | $1 + z^{-1}$ | $|z| > 0$ | Sonlu dürtü yanıtı (FIR) örneği |
$\displaystyle X(z) = \frac{z}{z-0.5}$ ifadesini ele alalım. ROC'a göre iki farklı dizi:
Aynı $X(z)$, farklı ROC → farklı $x[n]$! Bu yüzden Z dönüşümünde ROC şarttır.
$\cos(\omega_0 n) u[n]$'in Z dönüşümünü, üstel ifadelerden yararlanarak bulalım:
Payda eşitlemesi yapıldığında tablodaki forma ulaşılır:
Benzer şekilde $\sin(\omega_0 n) u[n]$ de türetilebilir.
$\displaystyle X(z) = \frac{2z}{z-0.3} + \frac{5z}{z-0.7}$, ROC: $|z| > 0.7$ olsun. Tablodan:
Doğrusallık özelliğiyle:
ROC $|z|>0.7$ olduğundan her iki terim de nedensel ve kararlıdır.
$\displaystyle X(z) = \frac{z}{z^2 - 1.2z + 0.52}$, ROC: $|z| > 0.721$ olsun. Paydayı çarpanlarına ayıralım:
Kutup büyüklüğü $\sqrt{0.6^2+0.4^2}=0.721$. Tablodaki sönümlü sinüs/kosinüs formlarından biriyle eşleşir. Kısmi kesir yapıldıktan sonra:
($\omega_0 = \arctan(0.4/0.6) \approx 0.588$ rad). Bu, sönümlü sinüzoidal bir dizidir.