Çözümlü Örnekler – Z Dönüşümü

Soru 1 Temel Tanım

$x[n] = \delta[n] + 2\delta[n-1] - \delta[n-2]$ sinyalinin Z dönüşümünü bulunuz.

Çözüm: Z dönüşümü tanımı gereği $X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$.
$\delta[n] \leftrightarrow 1$, $\delta[n-1] \leftrightarrow z^{-1}$, $\delta[n-2] \leftrightarrow z^{-2}$ olduğundan:

X(z) = 1 + 2z^{-1} - z^{-2}

ROC: $z \neq 0$ (tüm $z$ düzlemi, $z=0$ hariç). Sonlu uzunluklu dizi olduğu için ROC tüm $z$'dir.

Soru 2 Birim Basamak

$x[n] = u[n]$ (birim basamak) sinyalinin Z dönüşümünü hesaplayınız ve ROC'u belirtiniz.

Çözüm: $X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} 1 \cdot z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty} (z^{-1})^n$.
Bu geometrik seri $|z^{-1}| < 1$ yani $|z| > 1$ için yakınsar. Seri toplamı:

X(z) = \frac{1}{1 - z^{-1}} = \frac{z}{z-1}

ROC: $|z| > 1$. Kutup $z=1$'dedir.

Soru 3 Üstel Dizi

$x[n] = (0.8)^n u[n]$ sinyalinin Z dönüşümünü ve ROC'unu bulunuz. Sistem kararlı mıdır?

Çözüm: $X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} (0.8)^n z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty} (0.8 z^{-1})^n$.
Yakınsama için $|0.8 z^{-1}| < 1 \Rightarrow |z| > 0.8$.

$X(z) = \frac{1}{1 - 0.8z^{-1}} = \frac{z}{z-0.8}$, ROC: $|z| > 0.8$.

Kutup $z=0.8$ birim çember içinde olduğu için ($|0.8|<1$) sistem kararlıdır.

Soru 4 ROC Farkı

$X(z) = \frac{z}{z-0.5}$ ifadesinin $|z| > 0.5$ ve $|z| < 0.5$ ROC'larına karşılık gelen $x[n]$ dizilerini bulunuz.

Çözüm: Aynı cebirsel ifade farklı ROC'lara karşılık farklı diziler verir.
• ROC $|z| > 0.5$ (nedensel): $x[n] = (0.5)^n u[n]$
• ROC $|z| < 0.5$ (anti-nedensel): $x[n] = -(0.5)^n u[-n-1]$
Bu örnek, ROC belirtilmeden Z dönüşümünün anlamsız olduğunu gösterir.

Soru 5 Doğrusallık

$x[n] = 3(0.5)^n u[n] - 2(0.25)^n u[n]$ sinyalinin Z dönüşümünü bulunuz.

Çözüm: Doğrusallık özelliğini kullanarak:
$\mathcal{Z}\{(0.5)^n u[n]\} = \frac{z}{z-0.5}$, $\mathcal{Z}\{(0.25)^n u[n]\} = \frac{z}{z-0.25}$.

X(z) = 3\cdot\frac{z}{z-0.5} - 2\cdot\frac{z}{z-0.25}

ROC: $|z| > 0.5$ (her iki terimin ROC kesişimi).

Soru 6 Zaman Kayması

$x[n] = u[n-3]$ sinyalinin Z dönüşümünü bulunuz.

Çözüm: Zaman kayması özelliği: $\mathcal{Z}\{u[n]\} = \frac{z}{z-1}$, ROC $|z|>1$.
$\mathcal{Z}\{u[n-3]\} = z^{-3} \cdot \frac{z}{z-1} = \frac{z^{-2}}{z-1} = \frac{1}{z^2(z-1)}$.
ROC: $|z| > 1$ (aynı kalır, $z=0$ hariç).

Soru 7 Ölçekleme

$x[n] = (2)^n \cos(\omega_0 n) u[n]$ sinyalinin Z dönüşümünü bulunuz.

Çözüm: Önce $\cos(\omega_0 n) u[n]$'in Z dönüşümü: $\frac{z(z-\cos\omega_0)}{z^2 - 2z\cos\omega_0 + 1}$, ROC $|z|>1$.
Ölçekleme özelliği: $\mathcal{Z}\{a^n x[n]\} = X(z/a)$. $a=2$ için:

X(z) = \frac{(z/2)((z/2)-\cos\omega_0)}{(z/2)^2 - 2(z/2)\cos\omega_0 + 1} = \frac{z(z-2\cos\omega_0)}{z^2 - 4z\cos\omega_0 + 4}

ROC: $|z| > 2$.

Soru 8 Ters Z - Kısmi Kesir

$X(z) = \frac{z}{(z-0.5)(z-0.2)}$, ROC: $|z| > 0.5$ ise $x[n]$'i bulunuz.

Çözüm: $\frac{X(z)}{z} = \frac{1}{(z-0.5)(z-0.2)} = \frac{A}{z-0.5} + \frac{B}{z-0.2}$.
$A = \frac{1}{0.5-0.2} = \frac{1}{0.3} = \frac{10}{3}$, $B = \frac{1}{0.2-0.5} = -\frac{1}{0.3} = -\frac{10}{3}$.
$X(z) = \frac{10}{3}\cdot\frac{z}{z-0.5} - \frac{10}{3}\cdot\frac{z}{z-0.2}$.
$x[n] = \frac{10}{3}\big[(0.5)^n - (0.2)^n\big] u[n]$.

Soru 9 Ters Z - Çift Kutup

$X(z) = \frac{z}{(z-0.6)^2}$, ROC: $|z| > 0.6$ için ters Z dönüşümünü bulunuz.

Çözüm: Tablodan $\frac{az}{(z-a)^2} \leftrightarrow n a^n u[n]$ bilgisini kullanırız.
$X(z) = \frac{z}{(z-0.6)^2} = \frac{1}{0.6} \cdot \frac{0.6 z}{(z-0.6)^2}$.
$x[n] = \frac{1}{0.6} \cdot n (0.6)^n u[n] = \frac{5}{3} n (0.6)^n u[n]$.

Soru 10 Uzun Bölme

$X(z) = \frac{1}{1-0.4z^{-1}}$ ifadesini uzun bölme kullanarak $x[0], x[1], x[2]$ değerlerini bulunuz.

Çözüm: Uzun bölme: $\frac{1}{1-0.4z^{-1}} = 1 + 0.4z^{-1} + 0.16z^{-2} + 0.064z^{-3} + \cdots$
$x[0]=1$, $x[1]=0.4$, $x[2]=0.16$. Genel terim $x[n] = (0.4)^n$ olur.

Soru 11 Fark Denklemi

$y[n] - 0.7y[n-1] = x[n]$ fark denkleminin transfer fonksiyonu $H(z)$'yi ve dürtü yanıtını bulunuz.

Çözüm: Z dönüşümü alınır: $Y(z) - 0.7z^{-1}Y(z) = X(z)$.
$Y(z)(1 - 0.7z^{-1}) = X(z)$ → $H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1}{1-0.7z^{-1}} = \frac{z}{z-0.7}$.
Dürtü yanıtı: $h[n] = (0.7)^n u[n]$.

Soru 12 Kararlılık

$H(z) = \frac{z^2}{z^2 - 1.5z + 0.56}$ sisteminin kutuplarını bulunuz ve kararlı olup olmadığını belirtiniz.

Çözüm: Payda: $z^2 - 1.5z + 0.56 = 0$. Diskriminant: $\Delta = 2.25 - 2.24 = 0.01$.
Kutuplar: $z = \frac{1.5 \pm 0.1}{2} = 0.8$ ve $0.7$.
Her iki kutup da $|z| < 1$ olduğu için (0.8 ve 0.7) sistem kararlıdır.

Soru 13 Karmaşık Kutuplar

$H(z) = \frac{1}{1 - z^{-1} + 0.5z^{-2}}$ sisteminin kutuplarını bulunuz ve kararlılığını yorumlayınız.

Çözüm: $H(z) = \frac{z^2}{z^2 - z + 0.5}$. Karakteristik denklem: $z^2 - z + 0.5 = 0$.
Diskriminant: $1 - 2 = -1$, kökler: $z = \frac{1 \pm j}{2} = 0.5 \pm j0.5$.
Kutup büyüklüğü: $|p| = \sqrt{0.5^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.5} \approx 0.707 < 1$.
Karmaşık kutuplar birim çember içinde → sistem kararlıdır. Dürtü yanıtı sönümlü sinüzoidal olacaktır.

Soru 14 Konvolüsyon

$x[n] = (0.5)^n u[n]$ ve $h[n] = (0.3)^n u[n]$ için $y[n] = x[n] * h[n]$'i Z dönüşümü kullanarak bulunuz.

Çözüm: $X(z) = \frac{z}{z-0.5}$, $H(z) = \frac{z}{z-0.3}$.
$Y(z) = X(z)H(z) = \frac{z^2}{(z-0.5)(z-0.3)}$.
$\frac{Y(z)}{z} = \frac{z}{(z-0.5)(z-0.3)} = \frac{A}{z-0.5} + \frac{B}{z-0.3}$.
$A = \frac{0.5}{0.5-0.3}=2.5$, $B = \frac{0.3}{0.3-0.5}=-1.5$.
$Y(z) = 2.5\frac{z}{z-0.5} - 1.5\frac{z}{z-0.3}$.
$y[n] = \big[2.5(0.5)^n - 1.5(0.3)^n\big] u[n]$.

Soru 15 İlk Değer Teoremi

$X(z) = \frac{3z^2 - 2z}{z^2 - 0.5z + 0.06}$ ise $x[0]$ değerini ilk değer teoremi ile bulunuz.

Çözüm: İlk değer teoremi: $x[0] = \lim_{z\to\infty} X(z)$.
$X(z) = \frac{3 - 2z^{-1}}{1 - 0.5z^{-1} + 0.06z^{-2}}$. $z \to \infty$ iken $z^{-1} \to 0$.
$x[0] = \frac{3}{1} = 3$.

Soru 16 Son Değer Teoremi

$X(z) = \frac{z}{z^2 - 1.2z + 0.32}$ (kutuplar $0.8$ ve $0.4$) için $\lim_{n\to\infty} x[n]$'i son değer teoremi ile hesaplayınız.

Çözüm: Son değer teoremi: $x[\infty] = \lim_{z\to 1} (1-z^{-1}) X(z)$.
$(1-z^{-1})X(z) = \frac{z-1}{z} \cdot \frac{z}{(z-0.8)(z-0.4)} = \frac{z-1}{(z-0.8)(z-0.4)}$.
$z \to 1$: $\frac{0}{(0.2)(0.6)} = 0$. $x[\infty] = 0$ (sönümlü dizi).

Soru 17 Türev Özelliği

$x[n] = n (0.9)^n u[n]$ sinyalinin Z dönüşümünü türev özelliğini kullanarak bulunuz.

Çözüm: $y[n] = (0.9)^n u[n]$ için $Y(z) = \frac{z}{z-0.9}$, ROC $|z|>0.9$.
Türev özelliği: $\mathcal{Z}\{n y[n]\} = -z \frac{dY(z)}{dz}$.
$\frac{d}{dz}\left(\frac{z}{z-0.9}\right) = \frac{(z-0.9) - z}{(z-0.9)^2} = \frac{-0.9}{(z-0.9)^2}$.
$-z \cdot \frac{-0.9}{(z-0.9)^2} = \frac{0.9z}{(z-0.9)^2}$.
$X(z) = \frac{0.9z}{(z-0.9)^2}$, ROC: $|z| > 0.9$.

Soru 18 Sistem Analizi

$H(z) = \frac{1 - 0.5z^{-1}}{1 - 0.8z^{-1} + 0.15z^{-2}}$ sisteminin sıfırlarını ve kutuplarını bulunuz.

Çözüm: $H(z) = \frac{z(z-0.5)}{z^2 - 0.8z + 0.15}$.
Sıfırlar: $z=0$ ve $z=0.5$.
Payda: $z^2 - 0.8z + 0.15 = 0$ → $(z-0.5)(z-0.3)=0$.
Kutuplar: $z=0.5$ ve $z=0.3$.
Not: $z=0.5$ hem sıfır hem kutup → sadeleşir (cancel). Etkin kutup $z=0.3$'tür.

Soru 19 IIR Filtre

$y[n] = 0.6y[n-1] + 0.2x[n] + 0.3x[n-1]$ fark denkleminin transfer fonksiyonunu yazınız.

Çözüm: Z dönüşümü alınır (sıfır başlangıç koşulları):
$Y(z) = 0.6z^{-1}Y(z) + 0.2X(z) + 0.3z^{-1}X(z)$.
$Y(z)(1 - 0.6z^{-1}) = X(z)(0.2 + 0.3z^{-1})$.
$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{0.2 + 0.3z^{-1}}{1 - 0.6z^{-1}} = \frac{0.2z + 0.3}{z - 0.6}$.

Soru 20 Kombinasyon

$X(z) = \frac{2z}{(z-1)^2} + \frac{z}{z-0.5}$, ROC: $|z| > 1$ için $x[n]$'i bulunuz.

Çözüm: Tablodan: $\frac{z}{(z-1)^2} \leftrightarrow n u[n]$ ve $\frac{z}{z-0.5} \leftrightarrow (0.5)^n u[n]$.
$X(z) = 2\cdot\frac{z}{(z-1)^2} + \frac{z}{z-0.5}$.
$x[n] = 2n u[n] + (0.5)^n u[n] = \big[2n + (0.5)^n\big] u[n]$.

📝 Çözümlü Örnekler