Sistem Analizi – Z Dönüşümü

Doğrusal, zamanla değişmeyen (LTI — Linear Time-Invariant) bir dijital sistemin davranışı, Z dönüşümü kullanılarak büyük ölçüde basitleştirilir. Sistemin transfer fonksiyonu $H(z)$, dürtü yanıtı $h[n]$'nin Z dönüşümüdür ve sistemin tüm dinamik özelliklerini (kararlılık, frekans yanıtı, kazanç, faz) barındırır.

$$ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \mathcal{Z}\{h[n]\} $$ $Y(z)$: çıkışın Z dönüşümü, $X(z)$: girişin Z dönüşümü

🎯 Temel Denklem

Zaman domenindeki konvolüsyon $y[n] = x[n] * h[n]$, Z domeninde basit çarpmaya dönüşür: $\boxed{Y(z) = H(z) \cdot X(z)}$. Bu, sistem analizinin temel taşıdır.

📐 Genel Transfer Fonksiyonu Formu

Pratikte dijital filtreler (IIR) genellikle aşağıdaki formda yazılır:

$$ H(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + \cdots + b_M z^{-M}}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2} + \cdots + a_N z^{-N}} = \frac{B(z)}{A(z)} $$ $b_i$: ileri besleme (feedforward) katsayıları, $a_i$: geri besleme (feedback) katsayıları

Bu ifadeyi $z$'nin pozitif kuvvetleriyle yazmak genellikle daha kullanışlıdır:

H(z) = \frac{b_0 z^N + b_1 z^{N-1} + \cdots + b_M z^{N-M}}{z^N + a_1 z^{N-1} + \cdots + a_N}

🔁 Fark Denklemi ↔ Transfer Fonksiyonu

Örnek 1Fark Denkleminden Transfer Fonksiyonu

$y[n] = 0.8 y[n-1] + 0.2 x[n]$ fark denklemini ele alalım. Z dönüşümünü alalım (sıfır başlangıç koşulları):

Y(z) = 0.8 z^{-1} Y(z) + 0.2 X(z) $$ $$ Y(z) (1 - 0.8 z^{-1}) = 0.2 X(z) $$ $$ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{0.2}{1 - 0.8 z^{-1}} = \frac{0.2z}{z - 0.8}

Dürtü yanıtı: $h[n] = 0.2 \cdot (0.8)^n u[n]$ (sönümlü üstel).

Örnek 2Transfer Fonksiyonundan Fark Denklemi

$H(z) = \dfrac{1 + 0.5z^{-1}}{1 - 0.6z^{-1} + 0.08z^{-2}}$ olsun. Çapraz çarpalım:

Y(z) (1 - 0.6z^{-1} + 0.08z^{-2}) = X(z) (1 + 0.5z^{-1}) $$ $$ Y(z) - 0.6z^{-1}Y(z) + 0.08z^{-2}Y(z) = X(z) + 0.5z^{-1}X(z)

Ters Z dönüşümü (gecikme özelliği ile):

$$ y[n] - 0.6y[n-1] + 0.08y[n-2] = x[n] + 0.5x[n-1] $$

Bu, ikinci dereceden bir IIR filtredir.

✅ Kararlılık Analizi (Stability)

Bir LTI sisteminin BIBO kararlı (bounded-input bounded-output) olması için, dürtü yanıtının mutlak toplanabilir olması gerekir: $\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| < \infty$. Z domeninde bu koşul şuna denktir:

📌 Kararlılık Kriteri

Nedensel bir LTI sistemin transfer fonksiyonu $H(z)$'nin tüm kutupları birim çemberin İÇİNDE ($|p_i| < 1$) olmalıdır. Sistemin ROC'u birim çemberi içeriyorsa sistem kararlıdır.

Örnek 3Kararlılık Testi

$H(z) = \dfrac{z}{z-0.9}$: Kutup $z=0.9$ → $|0.9|<1$ → ✅ Kararlı (nedensel, ROC: $|z|>0.9$ birim çemberi içerir).

$H(z) = \dfrac{z}{z-1.2}$: Kutup $z=1.2$ → $|1.2|>1$ → ❌ Kararsız (dürtü yanıtı sonsuza büyür).

$H(z) = \dfrac{1}{z^2 - 0.5}$: Kutuplar $z = \pm 0.707$ → her ikisi de $|z|<1$ → ✅ Kararlı.

Örnek 4Karmaşık Kutuplu Sistem

$H(z) = \dfrac{1}{1 - 1.2z^{-1} + 0.52z^{-2}}$'nin kutupları $z = 0.6 \pm j0.4$, büyüklük $|p| = \sqrt{0.36+0.16}=0.721 < 1$ → ✅ Kararlı. Dürtü yanıtı sönümlü sinüzoidal olacaktır.

📊 FIR vs. IIR Filtreler

Özellik	FIR (Finite Impulse Response)	IIR (Infinite Impulse Response)
Transfer fonksiyonu	$H(z) = \sum_{k=0}^{M} b_k z^{-k}$	$H(z) = \frac{\sum b_k z^{-k}}{1 + \sum a_k z^{-k}}$
Geri besleme	Yok (sadece ileri besleme)	Var (payda polinomu)
Kararlılık	Her zaman kararlı (tüm kutuplar $z=0$'da)	Kutupların konumuna bağlı
Faz yanıtı	Doğrusal faz mümkün (simetrik katsayılarla)	Genellikle doğrusal değil
Hesaplama yükü	Aynı performans için daha yüksek mertebe gerekir	Daha düşük mertebe ile yüksek performans
Örnek	$y[n] = 0.2x[n] + 0.3x[n-1] + 0.2x[n-2]$	$y[n] = 0.5y[n-1] + 0.5x[n]$

💡 Hangi Filtre Ne Zaman Kullanılır?

FIR: Doğrusal faz gerekiyorsa (ses işleme, iletişim), kararlılık kritikse, adaptif filtrelerde.
IIR: Düşük mertebe ile keskin geçişler gerekiyorsa (gerçek zamanlı uygulamalar, analog filtre emülasyonu).

🔊 Frekans Yanıtı: $H(e^{j\omega})$

Transfer fonksiyonunu birim çember üzerinde değerlendirirsek ($z = e^{j\omega}$), sistemin frekans yanıtını elde ederiz:

$$ H(e^{j\omega}) = H(z)\big|_{z=e^{j\omega}} = |H(e^{j\omega})| e^{j\phi(\omega)} $$ $|H(e^{j\omega})|$: genlik yanıtı (kazanç), $\phi(\omega)$: faz yanıtı

Örnek 5Birinci Dereceden Alçak Geçiren Filtre

$H(z) = \dfrac{0.2}{1 - 0.8z^{-1}}$ filtresinin frekans yanıtını inceleyelim.

H(e^{j\omega}) = \frac{0.2}{1 - 0.8 e^{-j\omega}}

Genlik yanıtı: $|H(e^{j\omega})| = \dfrac{0.2}{\sqrt{1.64 - 1.6\cos\omega}}$

$\omega = 0$ (DC)

$|H| = 0.2/(1-0.8)=1$ → kazanç 1

$\omega = \pi$ (Nyquist)

$|H| = 0.2/(1+0.8)=0.111$ → yüksek frekanslar bastırılır

Bu, tipik bir alçak geçiren filtredir. Kesim frekansı yaklaşık $\omega_c \approx 0.64$ rad (kutupla ilişkilidir).

Örnek 6Çentik Filtre (Notch Filter)

$H(z) = \dfrac{1 - 2\cos\omega_0 z^{-1} + z^{-2}}{1 - 2r\cos\omega_0 z^{-1} + r^2 z^{-2}}$, $0

Bu filtre, $\omega_0$ frekansında sıfır (çentik) oluşturur. Örneğin $\omega_0 = \pi/2$ (90°), $r=0.95$ için 50 Hz gürültü bastırma (power line interference) uygulamalarında kullanılır.

📋 Sistem Analizi Adımları (Özet)

Fark denklemini yaz veya $H(z)$'yi belirle

Sistemin matematiksel modelini oluşturun.

Kutupları ve sıfırları bul

Pay ve payda polinomlarını çarpanlarına ayırın.

Kararlılığı kontrol et

Nedensel sistem için tüm kutuplar $|p_i|<1$ olmalı.

Frekans yanıtını hesapla

$z=e^{j\omega}$ koyarak $H(e^{j\omega})$'yi bulun.

Dürtü yanıtını bul (isteğe bağlı)

Ters Z dönüşümü ile $h[n]$'i hesaplayın.

Herhangi bir giriş için çıkışı bul

$Y(z)=H(z)X(z)$ → ters dönüşüm.

\text{"Bir sistemin transfer fonksiyonu, onun DNA'sıdır — tüm davranışını kodlar."}

← Ana modül sayfasına dön

📈 Sistem Analizi

📐 Genel Transfer Fonksiyonu Formu

🔁 Fark Denklemi ↔ Transfer Fonksiyonu

✅ Kararlılık Analizi (Stability)

📊 FIR vs. IIR Filtreler

🔊 Frekans Yanıtı: $H(e^{j\omega})$

📋 Sistem Analizi Adımları (Özet)