Bu sayfada Z dönüşümünün matematiksel tanımını görecek, çift taraflı ve tek taraflı versiyonlarını öğrenecek, en temel sinyallerin Z dönüşümlerini birlikte bulacağız.
Z dönüşümü, bir ayrık zamanlı sinyali ($x[n]$) alıp onu karmaşık bir $z$ değişkeninin fonksiyonuna ($X(z)$) dönüştüren matematiksel bir işlemdir.
Bu tanım, sinyalin geçmişini ve geleceğini ($n$ negatif ve pozitif) birlikte dikkate alır. Teorik olarak önemlidir.
Bu tanım, sinyalin sadece $n \ge 0$ kısmını dikkate alır. Fiziksel sistemlerde çıktı, gelecekteki girdilere bağlı olamayacağı için (nedensellik), pratikte çoğunlukla tek taraflı Z dönüşümü kullanılır.
Dijital filtreler, kontrol sistemleri, ses işleme gibi gerçek dünya uygulamalarında sinyaller $n=0$'da başlar ($n<0$ için sıfırdır). Bu tür sinyallere nedensel (causal) sinyal denir. Tek taraflı Z dönüşümü, bu sinyaller için çift taraflı ile aynı sonucu verir ama hesaplaması daha kolaydır. Fark denklemlerini çözerken de başlangıç koşullarını doğal olarak içerir.
Nedensel bir sinyal için ($n<0$'da $x[n]=0$), çift taraflı ve tek taraflı aynı sonucu verir. Örneklerimizde tek taraflı tanımı kullanacağız çünkü pratikte en çok ihtiyacımız olan budur.
$\delta[n]$ sinyali sadece $n=0$'da 1, diğer tüm $n$'lerde 0'dır. Nedensel bir sinyaldir ($n<0$'da zaten 0).
Birim dürtünün Z dönüşümü 1'dir. Bu, Z dönüşümünün en basit örneğidir.
$\delta[n-2]$ sinyali sadece $n=2$'de 1'dir. $n=0$'dan başladığımız için $n=2$ toplama dahildir.
Genel olarak, $k \ge 0$ için: $\mathcal{Z}\{\delta[n-k]\} = z^{-k}$
Bu sonuç, Z dönüşümünün gecikme operatörü olarak yorumlanmasını sağlar: $z^{-k}$, zaman domeninde $k$ birim gecikmeye karşılık gelir.
$u[n]$ sinyali $n \ge 0$ için 1'dir. Nedensel bir sinyaldir.
Bu, geometrik bir seridir. $|z^{-1}| < 1$ yani $|z| > 1$ için yakınsar. (Yakınsama bölgesini şimdilik not edelim, ileride detaylı göreceğiz.)
$x[n] = a^n u[n]$ sinyali nedensel bir üstel dizidir ($n \ge 0$ için $a^n$, $n < 0$ için 0). Bu, Z dönüşümünde en sık karşılaşılan sinyaldir.
Yine geometrik seri kullanılır. Yakınsama için $|a z^{-1}| < 1$ yani $|z| > |a|$ olmalıdır.
| Sinyal $x[n]$ | Z Dönüşümü $X(z)$ | Açıklama |
|---|---|---|
| $\delta[n]$ | $1$ | Birim dürtü |
| $\delta[n-k]$ (k$\ge$0) | $z^{-k}$ | Gecikmiş dürtü |
| $u[n]$ | $\dfrac{z}{z-1}$ | Birim basamak |
| $a^n u[n]$ | $\dfrac{z}{z-a}$ | Üstel dizi |
Z dönüşümü = Bir dizinin $z^{-n}$ ile çarpılıp toplanması
▪️ Çift taraflı: $X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$ (teorik)
▪️ Tek taraflı: $X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}$ (pratik, nedensel sinyaller için)
▪️ $\delta[n] \;\rightarrow\; 1$
▪️ $\delta[n-k] \;\rightarrow\; z^{-k}$
▪️ $u[n] \;\rightarrow\; \frac{z}{z-1}$
▪️ $a^n u[n] \;\rightarrow\; \frac{z}{z-a}$
Bir sonraki adımda "Neden Z Dönüşümü?" ile bu dönüşümün neden bu kadar kullanışlı olduğunu göreceğiz.