Kutup-sıfır diyagramı, bir transfer fonksiyonu $H(z)$'nin pay ve paydasını sıfır yapan noktaların karmaşık $z$-düzleminde işaretlenmesiyle elde edilir. Kutuplar ($\times$) paydanın kökleridir, sıfırlar ($\circ$) ise payın kökleridir. Bu diyagram, sistemin kararlılığı, frekans yanıtı ve geçici rejim davranışı hakkında anında bilgi verir.
Aşağıdaki kontrolleri kullanarak kutupları ve sıfırları $z$-düzleminde hareket ettirin. Sistemin kararlılığını ve frekans yanıtını anında gözlemleyin.
Nedensel bir LTI sistemin BIBO kararlı olması için tüm kutupların birim çemberin içinde ($|p_i| < 1$) olması gerekir. Bu koşul sağlanıyorsa dürtü yanıtı zamanla söner ve sistem kararlıdır.
| Kutup Konumu | $|p|$ | Kararlılık | Dürtü Yanıtı Karakteri |
|---|---|---|---|
| Birim çember İÇİNDE | $<1$ | ✅ Kararlı | Sönümlü üstel / sönümlü sinüzoidal |
| Birim çember ÜZERİNDE | $=1$ | ⚠️ Marjinal kararlı | Sabit genlikli salınım / basamak (kutup $z=1$) |
| Birim çember DIŞINDA | $>1$ | ❌ Kararsız | Üstel büyüyen (sonsuza gider) |
Sıfırlar, transfer fonksiyonunun payını sıfır yapar. Birim çember üzerindeki bir sıfır, o frekansta kazancın tamamen sıfırlanmasına neden olur (çentik filtresi / notch filter). Sıfır birim çembere yaklaştıkça, o frekans çevresinde derin bir sönümleme oluşur.
$H(z) = \dfrac{0.2z}{z-0.8}$: Kutup $z=0.8$ (içte → kararlı), sıfır $z=0$'da.
DC'de ($\omega=0$) kazanç 1, yüksek frekanslarda ($\omega=\pi$) kazanç $\approx 0.111$. Sıfırın orijinde olması faz yanıtını etkiler ancak genliği değiştirmez.
$H(z) = \dfrac{1 - 2\cos(60^\circ) z^{-1} + z^{-2}}{1 - 1.8\cos(60^\circ) z^{-1} + 0.81 z^{-2}}$, yani $\omega_0 = \pi/3$ (60°) için:
Sıfırlar: $z = e^{\pm j\pi/3}$ (birim çember üzerinde → 60°'de tam sıfırlama).
Kutuplar: $z = 0.9 e^{\pm j\pi/3}$ (birim çember içinde → kararlı). Bu filtre, 60 Hz'lik gürültüyü bastırmak için idealdir.
$H(z) = \dfrac{1}{1 - 1.6\cos(30^\circ) z^{-1} + 0.64 z^{-2}} = \dfrac{1}{1 - 1.3856z^{-1} + 0.64z^{-2}}$
Kutuplar: $z = 0.8 e^{\pm j\pi/6}$ (büyüklük 0.8). Bu kutuplar birim çembere yakın olduğu için $\omega = \pi/6$ (30°) civarında keskin bir rezonans (kazanç tepe noktası) oluşur. Ses işlemede rezonans filtrelerinde kullanılır.
Frekans yanıtı $H(e^{j\omega})$, kutuplar ve sıfırların $e^{j\omega}$ noktasına olan vektörel uzaklıklarıyla hesaplanabilir:
Bu geometrik yorum, hangi frekanslarda kazancın yüksek (kutuplara yakın) veya düşük (sıfırlara yakın) olacağını görselleştirir.
$H(z) = \dfrac{z}{z-0.8}$ için $\omega=0$ (DC, $z=1$) noktasında:
$\omega=\pi$ ($z=-1$) noktasında: Sıfır vektörü $|{-1}|=1$, Kutup vektörü $|{-1}-0.8|=1.8$, $|H(-1)| = 0.2 \times 1/1.8 \approx 0.111$ — önceki örnekle uyumlu.