Aşağıda faz portreleri, denge noktaları, lineer sistemler, sınıflandırma ve kararlılık konularını pekiştirmek için hazırlanmış 15 örnek soru bulunmaktadır. Her sorunun altındaki "Çözümü Göster" butonuna tıklayarak adım adım çözüme ulaşabilirsiniz.
$\dot{x} = 3x - y$, $\dot{y} = 2x + 4y$ sisteminin denge noktasını bulunuz.
🔍 Çözümü Göster
Çözüm: Denge noktasında $\dot{x}=0$ ve $\dot{y}=0$ olmalıdır.
$3x - y = 0 \Rightarrow y = 3x$
$2x + 4y = 0 \Rightarrow 2x + 4(3x) = 2x + 12x = 14x = 0 \Rightarrow x = 0$
$x=0$ için $y=0$ olur.
$(x^*, y^*) = (0, 0)$
Not: Homojen lineer sistemlerde orijin her zaman bir denge noktasıdır.
$\dot{x} = x^2 - y$, $\dot{y} = x + y^2 - 2$ sisteminin denge noktalarını bulunuz.
🔍 Çözümü Göster
Çözüm: $x^2 - y = 0 \Rightarrow y = x^2$
$x + y^2 - 2 = 0 \Rightarrow x + (x^2)^2 - 2 = x + x^4 - 2 = 0$
$x^4 + x - 2 = 0$. Deneme: $x=1$ için $1+1-2=0$ → $x=1$ bir kök.
$x=1$ için $y=1^2=1$. $(1,1)$ bir denge noktası.
Diğer kökler? $x^4+x-2 = (x-1)(x^3+x^2+x+2)=0$.
$x^3+x^2+x+2=0$'ın reel kökü $x \approx -1.35$ civarıdır. Bu da $y \approx 1.82$ verir.
Denge noktaları: $(1,1)$ ve $(-1.35,\; 1.82)$ (yaklaşık)
$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ matrisinin özdeğerlerini ve özvektörlerini bulunuz.
🔍 Çözümü Göster
Çözüm: Karakteristik denklem: $\det(A - \lambda I) = 0$
$\det\begin{pmatrix}4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda\end{pmatrix} = (4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = 0$
$12 - 4\lambda - 3\lambda + \lambda^2 - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0$
$\lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda-2)(\lambda-5)=0$
$\lambda_1 = 2,\quad \lambda_2 = 5$
$\lambda_1=2$ için: $(A-2I)\mathbf{v}=0 \Rightarrow \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}=0 \Rightarrow 2v_1+v_2=0 \Rightarrow \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix}1 \\ -2\end{pmatrix}$
$\lambda_2=5$ için: $(A-5I)\mathbf{v}=0 \Rightarrow \begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 2 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}=0 \Rightarrow -v_1+v_2=0 \Rightarrow \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}$
$\dot{x} = -2x + y$, $\dot{y} = x - 3y$ sisteminin denge noktasını sınıflandırınız.
🔍 Çözümü Göster
Çözüm: Sistem matrisi: $A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$
$\det(A - \lambda I) = (-2-\lambda)(-3-\lambda) - 1 = \lambda^2 + 5\lambda + 6 - 1 = \lambda^2 + 5\lambda + 5 = 0$
$\lambda = \frac{-5 \pm \sqrt{25-20}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5}}{2}$
$\lambda_1 \approx -1.38$, $\lambda_2 \approx -3.62$ (ikisi de negatif)
$\lambda_1, \lambda_2 < 0$ → Kararlı Düğüm (Stable Node)
$\dot{x} = 2x + 3y$, $\dot{y} = 3x + 2y$ sisteminin denge tipini belirleyiniz.
🔍 Çözümü Göster
Çözüm: $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$
Karakteristik denklem: $(2-\lambda)^2 - 9 = \lambda^2 - 4\lambda + 4 - 9 = \lambda^2 - 4\lambda - 5 = 0$
$\lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16+20}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}$ → $\lambda_1 = 5$, $\lambda_2 = -1$
$\lambda_1 > 0,\ \lambda_2 < 0$ → Eyer Noktası (Saddle Point) (kararsız)
$\dot{x} = -2x - y$, $\dot{y} = x - 2y$ sistemini sınıflandırınız.
🔍 Çözümü Göster
Çözüm: $A = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$
$\det(A - \lambda I) = (-2-\lambda)^2 + 1 = \lambda^2 + 4\lambda + 4 + 1 = \lambda^2 + 4\lambda + 5 = 0$
$\lambda = \frac{-4 \pm \sqrt{16-20}}{2} = \frac{-4 \pm 2i}{2} = -2 \pm i$
$\alpha = -2 < 0$
Kararlı Sarmal (Stable Spiral) → Asimptotik Kararlı
$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$ sisteminin kararlılığını belirleyiniz.
🔍 Çözümü Göster
Çözüm: Üst üçgen matris olduğu için özdeğerler köşegen elemanlarıdır.
$\lambda_1 = -1$, $\lambda_2 = -3$
Tüm özdeğerlerin reel kısmı < 0 olduğu için:
Asimptotik Kararlı
$\dot{x} = y$, $\dot{y} = -4x$ sisteminin denge tipini bulunuz.
🔍 Çözümü Göster
Çözüm: $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -4 & 0 \end{pmatrix}$
$\det(A - \lambda I) = \lambda^2 + 4 = 0$ → $\lambda = \pm 2i$
Saf sanal özdeğerler →
Merkez (Center) → Lyapunov kararlı
Yörüngeler elips şeklinde kapalı eğrilerdir.
$\dot{x} = x(3 - y)$, $\dot{y} = y(x - 2)$ sisteminin denge noktalarını ve tiplerini bulunuz.
🔍 Çözümü Göster
Çözüm: $x(3-y)=0 \Rightarrow x=0$ veya $y=3$
$y(x-2)=0 \Rightarrow y=0$ veya $x=2$
Kesişimler: $(0,0)$, $(2,3)$ (ayrıca $x=0,y=0$ zaten var)
Jacobian: $J = \begin{pmatrix} 3-y & -x \\ y & x-2 \end{pmatrix}$
$(0,0)$'da: $J=\begin{pmatrix}3 & 0 \\ 0 & -2\end{pmatrix}$ → $\lambda_1=3>0$, $\lambda_2=-2<0$ →
Eyer
$(2,3)$'da: $J=\begin{pmatrix}0 & -2 \\ 3 & 0\end{pmatrix}$ → $\lambda^2+6=0$ → $\lambda=\pm i\sqrt{6}$ →
Merkez
Sonuç: $(0,0)$: Eyer, $(2,3)$: Merkez
Sürtünmesiz sarkaç: $\dot{\theta}=\omega$, $\dot{\omega}=-\sin\theta$ ($g/L=1$). Denge noktalarını ve tiplerini bulunuz.
🔍 Çözümü Göster
Çözüm: Denge: $\omega=0$, $\sin\theta=0 \Rightarrow \theta = n\pi$
Jacobian: $J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\cos\theta & 0 \end{pmatrix}$
$\theta=0$ (alt denge): $J=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}$ → $\lambda=\pm i$ →
Merkez
$\theta=\pi$ (üst denge): $J=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ → $\lambda=\pm 1$ →
Eyer
Alt denge: Merkez (kararlı), Üst denge: Eyer (kararsız)
$\dot{x} = -y + x(1 - x^2 - y^2)$, $\dot{y} = x + y(1 - x^2 - y^2)$ sisteminin limit döngüsü var mıdır? Kutupsal koordinatlara geçerek gösteriniz.
🔍 Çözümü Göster
Çözüm: $r^2 = x^2 + y^2$ → $r\dot{r} = x\dot{x} + y\dot{y}$
$x\dot{x} = x[-y + x(1-r^2)] = -xy + x^2(1-r^2)$
$y\dot{y} = y[x + y(1-r^2)] = xy + y^2(1-r^2)$
$r\dot{r} = -xy + xy + (x^2+y^2)(1-r^2) = r^2(1-r^2)$
$\dot{r} = r(1-r^2)$
$r=0$: denge noktası. $r=1$: $\dot{r}=0$ → birim çember limit döngüsü.
$0
0$ (içten döngüye yaklaşır)Kararlı limit döngüsü vardır: $r=1$ (birim çember)
Van der Pol osilatörü $\ddot{x} - (1-x^2)\dot{x} + x = 0$ ($\mu=1$). Sistem formunda yazıp $(0,0)$ denge noktasının tipini belirleyiniz.
🔍 Çözümü Göster
Çözüm: $y=\dot{x}$ dönüşümü:
$\dot{x}=y$, $\dot{y}=\ddot{x} = (1-x^2)y - x$
Jacobian: $J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1-2xy & 1-x^2 \end{pmatrix}$
$(0,0)$'da: $J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
$\lambda^2 - \lambda + 1 = 0$ → $\lambda = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} = 0.5 \pm 0.866i$
$\alpha = 0.5 > 0$
$(0,0)$: Kararsız Sarmal (Unstable Spiral)
Yörüngeler orijinden dışa doğru dönerek limit döngüsüne yaklaşır.
$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$ matrisinin iz ve determinantını kullanarak sınıflandırınız.
🔍 Çözümü Göster
Çözüm: $\tau = \text{iz}(A) = -1 + (-1) = -2$
$\Delta = \det(A) = (-1)(-1) - (2)(-2) = 1 + 4 = 5$
$\tau^2 - 4\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$
$\tau < 0$, $\Delta > 0$, diskriminant < 0 →
Kararlı Sarmal (Stable Spiral)
$\tau = -2,\ \Delta = 5$ → Asimptotik Kararlı
$\dot{x} = x(1 - x - y)$, $\dot{y} = y(0.5 - 0.25y - 0.5x)$ sisteminin $(1,0)$ denge noktasında lineerleştirilmiş sistemini yazınız.
🔍 Çözümü Göster
Çözüm: $f(x,y)=x(1-x-y)=x - x^2 - xy$Dejenere durum (lineer analiz yetersiz)
İki boyutlu bir diferansiyel denklem sisteminde kaotik davranış görülebilir mi? Poincaré-Bendixson teoremini yorumlayarak açıklayınız.
🔍 Çözümü Göster
Çözüm: Poincaré-Bendixson teoremine göre, iki boyutlu bir sistemde (sürekli zaman) bir yörünge kompakt bir bölgede kalırsa ve hiçbir denge noktasına yaklaşmazsa, bu yörünge ya bir limit döngüsüne yaklaşır ya da kendisi bir limit döngüsüdür.
Sonuç: İki boyutlu sistemlerde KAOS oluşamaz.
Kaotik davranış (başlangıç koşullarına hassas bağımlılık) için en az 3 boyutlu sistemler (örneğin Lorenz sistemi) veya kesikli-zaman sistemleri (lojistik harita) gereklidir.
← Ana modül sayfasına dön