🎯 AMAÇ
Bu bölümde, dönme hareketinin kinematiğini öğreneceğiz. Açısal konum, açısal hız, açısal ivme kavramlarını ve sabit açısal ivmeli hareket denklemlerini inceleyeceğiz. Ayrıca çizgisel ve açısal büyüklükler arasındaki ilişkileri göreceğiz.
📍 Açısal Konum ($\theta$) ve Radyan
Dönme hareketinde bir cismin konumu, açısal konum ($\theta$) ile ifade edilir. Birim radyan (rad)'dır.
$$ \theta = \frac{s}{r} $$
Burada $s$: yay uzunluğu (m), $r$: yarıçap (m). Bir tam tur $2\pi$ radyandır.
📌 DÖNÜŞÜMLER
- $360^\circ = 2\pi$ rad
- $1$ rad $\approx 57.3^\circ$
- Derece → radyan: $\theta_{rad} = \theta_{derece} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$
- Radyan → derece: $\theta_{derece} = \theta_{rad} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$
⚡ Açısal Hız ($\omega$) ve Açısal İvme ($\alpha$)
Ortalama ve Anlık Açısal Hız
$$ \omega_{ort} = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}, \quad \omega = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{d\theta}{dt} $$
Ortalama ve Anlık Açısal İvme
$$ \alpha_{ort} = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}, \quad \alpha = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{d\omega}{dt} $$
Birim: $\omega$ (rad/s), $\alpha$ (rad/s²).
📊 Sabit Açısal İvmeli Hareket Denklemleri
Sabit açısal ivme ($\alpha$) durumunda, öteleme hareketindeki kinematik denklemlere benzer denklemler geçerlidir:
| Öteleme (1B) | Dönme (Açısal) |
|---|
| $v = v_0 + at$ | $\omega = \omega_0 + \alpha t$ |
| $x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2$ | $\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$ |
| $v^2 = v_0^2 + 2a(x-x_0)$ | $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta - \theta_0)$ |
Bir tekerlek $\omega_0 = 4$ rad/s ile dönmeye başlıyor ve $\alpha = 2$ rad/s² ile hızlanıyor. $t=3$ s sonraki açısal hızı ve döndüğü açıyı bulunuz.
①
Açısal hız
$\omega = \omega_0 + \alpha t = 4 + 2\cdot3 = 10$ rad/s
②
Döndüğü açı ($\theta_0=0$)
$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2 = 4\cdot3 + \frac{1}{2}\cdot2\cdot9 = 12 + 9 = 21$ rad
🔗 Çizgisel ve Açısal Büyüklükler Arasındaki İlişkiler
$$ s = r\theta, \quad v = r\omega, \quad a_t = r\alpha, \quad a_c = r\omega^2 $$
Burada:
- $s$: yay uzunluğu (m)
- $v$: teğetsel hız (m/s)
- $a_t$: teğetsel ivme (m/s²)
- $a_c$: merkezcil ivme (m/s²)
Yarıçapı $r=0.5$ m olan bir tekerlek $\omega = 6$ rad/s ile dönüyor ve $\alpha = 2$ rad/s² ile hızlanıyor. Tekerleğin kenarındaki bir noktanın teğetsel ivmesini, merkezcil ivmesini ve toplam ivmesini bulunuz.
①
Teğetsel ivme
$a_t = r\alpha = 0.5 \cdot 2 = 1$ m/s²
②
Merkezcil ivme
$a_c = r\omega^2 = 0.5 \cdot 36 = 18$ m/s²
③
Toplam ivme
$a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2} = \sqrt{1^2 + 18^2} = \sqrt{1+324} = \sqrt{325} \approx 18.03$ m/s²
Yarıçapı $r=0.3$ m olan bir tekerlek $\omega = 20$ rad/s ile dönüyorsa, tekerleğin kenarındaki bir noktanın hızı kaç m/s'dir?
②
Hesapla
$v = 0.3 \cdot 20 = 6$ m/s
📌 ÖZET
- Açısal konum: $\theta = s/r$ (radyan)
- Açısal hız: $\omega = d\theta/dt$ (rad/s)
- Açısal ivme: $\alpha = d\omega/dt$ (rad/s²)
- Sabit $\alpha$ denklemleri: $\omega = \omega_0 + \alpha t$, $\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$, $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta - \theta_0)$
- Çizgisel-açısal ilişkiler: $s = r\theta$, $v = r\omega$, $a_t = r\alpha$, $a_c = r\omega^2$
← Ana modül sayfasına dön