🎯 AMAÇ
Bu bölümde, basit harmonik hareket (BHH) kavramını öğreneceğiz. Geri çağırıcı kuvvet ($F=-kx$), konum, hız, ivme denklemlerini, açısal frekans, periyot, frekans ve enerji ilişkilerini inceleyeceğiz.
❓ Basit Harmonik Hareket Nedir?
Basit harmonik hareket (BHH), bir cismin denge noktası etrafında, geri çağırıcı kuvvetin denge noktasından uzaklıkla doğru orantılı ve zıt yönlü olduğu titreşim hareketidir.
$$ F = -kx $$
Burada $k$ yay sabiti (N/m), $x$ denge noktasından uzaklıktır (m).
📌 ÖRNEKLER
- Yay ucundaki kütlenin hareketi
- Basit sarkacın küçük açılı salınımı
- Bir atomun molekül içindeki titreşimi
📊 Konum, Hız ve İvme Denklemleri
$$ x(t) = A\cos(\omega t + \phi) $$
$$ v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega\sin(\omega t + \phi) $$
$$ a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2\cos(\omega t + \phi) = -\omega^2 x $$
Burada:
- $A$: genlik (maksimum yer değiştirme) [m]
- $\omega$: açısal frekans [rad/s]
- $\phi$: başlangıç fazı [rad]
- $t$: zaman [s]
🔑 AÇISAL FREKANS, PERİYOT VE FREKANS
$$ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $$
$$ T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} $$
$$ f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi} $$
Yay sabiti $k=200$ N/m olan bir yayın ucuna $m=2$ kg kütle asılıyor. Sistemin periyodunu ve frekansını bulunuz.
①
Açısal frekans
$\omega = \sqrt{k/m} = \sqrt{200/2} = \sqrt{100} = 10$ rad/s
②
Periyot
$T = 2\pi/\omega = 2\pi/10 = \pi/5 \approx 0.628$ s
③
Frekans
$f = 1/T \approx 1.59$ Hz
📐 Başlangıç Fazı ($\phi$) ve Genlik ($A$)
$$ A = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2} $$
$$ \tan\phi = -\frac{v_0}{\omega x_0} $$
Burada $x_0 = x(0)$ ve $v_0 = v(0)$ başlangıç koşullarıdır.
Bir BHH yapan cismin $t=0$'da $x_0=0.05$ m ve $v_0=0$ olduğu biliniyor. $\omega=4$ rad/s ise genlik ve başlangıç fazını bulunuz.
①
Genlik
$A = \sqrt{0.05^2 + (0/4)^2} = 0.05$ m
②
Faz
$\tan\phi = -\frac{0}{4\cdot0.05} = 0 \Rightarrow \phi = 0$ veya $\pi$. $x_0 = A\cos\phi = 0.05\cos\phi = 0.05 \Rightarrow \cos\phi = 1 \Rightarrow \phi = 0$
⚡ Basit Harmonik Hareketin Enerjisi
$$ E_{toplam} = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}mv_{max}^2 $$
$$ K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}k(A^2 - x^2) $$
$$ U = \frac{1}{2}kx^2 $$
Yay sabiti $k=100$ N/m, genlik $A=0.1$ m olan bir BHH sisteminin toplam enerjisini bulunuz. $x=0.05$ m'deki kinetik ve potansiyel enerjiyi hesaplayınız.
①
Toplam enerji
$E = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}\cdot100\cdot0.01 = 0.5$ J
②
$x=0.05$ m'de potansiyel enerji
$U = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}\cdot100\cdot0.0025 = 0.125$ J
③
Kinetik enerji
$K = E - U = 0.5 - 0.125 = 0.375$ J
📌 ÖZET
- Geri çağırıcı kuvvet: $F = -kx$
- Konum: $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$
- Hız: $v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \phi)$
- İvme: $a(t) = -A\omega^2\cos(\omega t + \phi) = -\omega^2 x$
- Açısal frekans: $\omega = \sqrt{k/m}$
- Periyot: $T = 2\pi\sqrt{m/k}$
- Toplam enerji: $E = \frac{1}{2}kA^2$
← Ana modül sayfasına dön