🎯 AMAÇ
Bu bölümde, yay sarkacını (yay-kütle sistemi) detaylı olarak inceleyeceğiz. Periyot, açısal frekans, seri ve paralel bağlı yaylar, düşey yay sarkacı gibi konuları öğreneceğiz.
📐 Yatay Yay Sarkacı
Yatay yay sarkacı, sürtünmesiz bir yüzey üzerinde yaya bağlı bir kütleden oluşur. Hareket denklemi $F = -kx$'tir.
$$ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $$
$$ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} $$
$$ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} $$
Yay sabiti $k=100$ N/m olan bir yaya $m=0.25$ kg kütle bağlanıyor. Periyodu ve frekansı bulunuz.
①
Periyot
$T = 2\pi\sqrt{m/k} = 2\pi\sqrt{0.25/100} = 2\pi\sqrt{0.0025} = 2\pi\cdot0.05 = 0.314$ s
②
Frekans
$f = 1/T \approx 3.18$ Hz
📏 Düşey Yay Sarkacı
Düşey yay sarkacında, kütle asıldığında yay denge konumunda $\Delta L = mg/k$ kadar uzar. Periyot, yatay yay sarkacı ile aynıdır:
$$ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} $$
📌 ÖNEMLİ
Düşey yay sarkacının periyodu, yayın denge konumundaki uzama miktarına bağlı değildir. Sadece $m$ ve $k$'ya bağlıdır.
Yay sabiti $k=50$ N/m olan bir yaya $m=2$ kg kütle asılıyor. Periyodunu ve yayın denge konumundaki uzama miktarını bulunuz. ($g=10$ m/s²)
①
Periyot
$T = 2\pi\sqrt{m/k} = 2\pi\sqrt{2/50} = 2\pi\sqrt{0.04} = 2\pi\cdot0.2 = 1.257$ s
②
Uzama miktarı
$\Delta L = mg/k = 20/50 = 0.4$ m
🔗 Seri ve Paralel Bağlı Yaylar
| Bağlama Şekli | Eşdeğer Yay Sabiti ($k_{eff}$) |
|---|
| Seri bağlama | $\frac{1}{k_{eff}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ |
| Paralel bağlama | $k_{eff} = k_1 + k_2$ |
$k_1=100$ N/m, $k_2=200$ N/m olan iki yay seri bağlanıyor. $m=3$ kg kütle asılıyor. Periyodu bulunuz.
①
Eşdeğer yay sabiti
$\frac{1}{k_{eff}} = \frac{1}{100} + \frac{1}{200} = \frac{2+1}{200} = \frac{3}{200} \Rightarrow k_{eff} = \frac{200}{3} \approx 66.67$ N/m
②
Periyot
$T = 2\pi\sqrt{m/k_{eff}} = 2\pi\sqrt{3/(200/3)} = 2\pi\sqrt{9/200} = 2\pi\cdot\frac{3}{\sqrt{200}} \approx 1.33$ s
İki yay ($k_1=100$ N/m, $k_2=150$ N/m) paralel bağlanıyor. $m=5$ kg kütle asılıyor. Periyodu bulunuz.
①
Eşdeğer yay sabiti
$k_{eff} = k_1 + k_2 = 100 + 150 = 250$ N/m
②
Periyot
$T = 2\pi\sqrt{5/250} = 2\pi\sqrt{0.02} = 2\pi\cdot0.1414 \approx 0.888$ s
⚡ Yay Sarkacının Enerjisi
$$ E = \frac{1}{2}kA^2 $$
$$ K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}k(A^2 - x^2) $$
$$ U = \frac{1}{2}kx^2 $$
$k=80$ N/m, $m=2$ kg, $A=0.1$ m olan bir yay sarkacının toplam enerjisini ve $x=0.05$ m'deki hızını bulunuz.
①
Toplam enerji
$E = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}\cdot80\cdot0.01 = 0.4$ J
②
$x=0.05$ m'de hız
$E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 \Rightarrow 0.4 = \frac{1}{2}\cdot2\cdot v^2 + \frac{1}{2}\cdot80\cdot0.0025 = v^2 + 0.1 \Rightarrow v^2 = 0.3 \Rightarrow v \approx 0.548$ m/s
📌 ÖZET
- Yatay/düşey yay sarkacı periyodu: $T = 2\pi\sqrt{m/k}$
- Açısal frekans: $\omega = \sqrt{k/m}$
- Seri yay: $\frac{1}{k_{eff}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$
- Paralel yay: $k_{eff} = k_1 + k_2$
- Toplam enerji: $E = \frac{1}{2}kA^2$
- Düşey yayda uzama miktarı $\Delta L = mg/k$, periyot etkilenmez
← Ana modül sayfasına dön