🎯 AMAÇ
Bu bölümde, basit sarkacın hareketini inceleyeceğiz. Periyot formülünü türetecek, periyodun kütleden bağımsız olduğunu ve sadece ip uzunluğuna ($L$) ve yerçekimi ivmesine ($g$) bağlı olduğunu öğreneceğiz.
❓ Basit Sarkaç Nedir?
Basit sarkaç, ağırlığı ihmal edilen bir ipin ucuna bağlı noktasal kütleden oluşur. Küçük açılarda ($\theta < 15^\circ$) basit harmonik hareket yapar.
📌 GERİ ÇAĞIRICI KUVVET
$$ F = -mg\sin\theta \approx -mg\theta \quad (\text{küçük açılar için}) $$
Burada $\theta$ radyan cinsinden küçük olduğunda $\sin\theta \approx \theta$ alınır.
📐 Periyot Formülünün Türetilişi
Newton'un 2. yasası ve küçük açı yaklaşımı kullanılarak:
$$ m L \frac{d^2\theta}{dt^2} = -mg\theta \quad \Rightarrow \quad \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\theta = 0 $$
Bu denklem, basit harmonik hareket denklemidir. Açısal frekans ve periyot:
$$ \omega = \sqrt{\frac{g}{L}}, \quad T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} $$
🔑 ÖNEMLİ ÖZELLİKLER
- Periyot kütleden bağımsızdır (aynı uzunluktaki sarkaçların periyodu aynıdır)
- Periyot genlikten bağımsızdır (küçük açılar için)
- Periyot sadece $L$ ve $g$'ye bağlıdır
- $T \propto \sqrt{L}$, $T \propto 1/\sqrt{g}$
✍️ Örnekler
Uzunluğu $L=1$ m olan bir basit sarkacın periyodunu bulunuz. ($g=9.8$ m/s²)
①
Formül
$T = 2\pi\sqrt{L/g}$
②
Hesapla
$T = 2\pi\sqrt{1/9.8} = 2\pi \cdot 0.319 \approx 2.006$ s
Bir sarkacın periyodu $T=2.5$ s ise uzunluğu kaç metredir? ($g=10$ m/s²)
①
Formül
$T = 2\pi\sqrt{L/g} \Rightarrow L = \frac{gT^2}{4\pi^2}$
②
Hesapla
$L = \frac{10 \cdot (2.5)^2}{4\pi^2} = \frac{10 \cdot 6.25}{39.48} = \frac{62.5}{39.48} \approx 1.58$ m
Bir sarkacın periyodu $T=2$ s'dir. Kütle iki katına çıkarılırsa yeni periyot ne olur?
①
Analiz
$T = 2\pi\sqrt{L/g}$ formülünde kütle yoktur. Periyot kütleden bağımsızdır.
②
Sonuç
$T = 2$ s (değişmez)
Dünya'da periyodu $T_D=2$ s olan bir sarkaç, Ay'a götürülüyor. Ay'da $g_A = g_D/6$ olduğuna göre yeni periyodu bulunuz.
①
Periyot oranı
$T \propto 1/\sqrt{g} \Rightarrow \frac{T_A}{T_D} = \sqrt{\frac{g_D}{g_A}} = \sqrt{6} \approx 2.449$
②
Hesapla
$T_A = 2 \cdot 2.449 \approx 4.898$ s
⚡ Basit Sarkacın Enerjisi
$$ E = mgh_{max} = mgL(1-\cos\theta_{max}) \approx \frac{1}{2}mgL\theta_{max}^2 $$
$$ K = \frac{1}{2}mv^2 $$
$$ U = mgh $$
$m=0.5$ kg, $L=1$ m, $\theta_{max}=10^\circ$ ($\approx 0.1745$ rad) olan bir sarkacın toplam enerjisini bulunuz. ($g=10$ m/s²)
①
Maksimum yükseklik
$h_{max} = L(1-\cos\theta_{max}) = 1(1-0.9848) = 0.0152$ m
②
Toplam enerji
$E = mgh_{max} = 0.5 \cdot 10 \cdot 0.0152 = 0.076$ J
📌 ÖZET
- Periyot: $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ (küçük açılar için)
- Periyot kütleden bağımsızdır
- Periyot genlikten bağımsızdır (küçük açılar)
- Açısal frekans: $\omega = \sqrt{g/L}$
- Toplam enerji: $E = mgL(1-\cos\theta_{max})$
- Sarkaçlı saatlerde $L$ ayarlanarak periyot değiştirilir
← Ana modül sayfasına dön