🎯 AMAÇ
Bu bölümde, Kepler'in 2. yasasını öğreneceğiz. Alan hızı kavramını, açısal momentum korunumu ile ilişkisini ve gezegenlerin Güneş'e yaklaştıkça hızlanması, uzaklaştıkça yavaşlaması olgusunu inceleyeceğiz.
📜 Kepler'in 2. Yasası (1609)
📌 YASA (Alan Yasası)
Bir gezegeni Güneş'e bağlayan doğru parçası, eşit zaman aralıklarında eşit alanlar tarar.
Bu yasa, gezegenin yörüngesinde sabit alan hızıyla hareket ettiğini söyler.
$$ \frac{dA}{dt} = \text{sabit} = \frac{L}{2m} $$
Burada $L$ açısal momentum, $m$ gezegenin kütlesidir.
🔄 Açısal Momentum Korunumu
🔑 FİZİKSEL TEMEL
Merkezcil kuvvet (kütle çekimi) olduğu için, gezegenin Güneş'e göre açısal momentumu korunur:
$$ \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \text{sabit} \quad \Rightarrow \quad L = m r v_\perp = \text{sabit} $$
Burada $v_\perp$, konum vektörüne dik hız bileşenidir.
📌 ALAN HIZI
Alan hızı: $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r v_\perp = \frac{L}{2m}$ (sabit)
⚡ Gezegenin Hızı Nerede Büyük, Nerede Küçük?
📌 GÜNBErİ VE GÜNÖTE HIZLARI
- Günberi (en yakın nokta): $r$ küçük → $v$ büyük (gezegen en hızlı)
- Günöte (en uzak nokta): $r$ büyük → $v$ küçük (gezegen en yavaş)
$$ r_{min} v_{max} = r_{max} v_{min} = \frac{L}{m} $$
Dünya'nın günberi uzaklığı $1.471 \times 10^{11}$ m, günöte uzaklığı $1.521 \times 10^{11}$ m'dir. Günberi hızı $v_{min} = 30.3$ km/s ise günöte hızını bulunuz.
①
Açısal momentum korunumu
$r_{min} v_{max} = r_{max} v_{min}$
②
Hesapla
$v_{min} = \frac{r_{min} v_{max}}{r_{max}} = \frac{1.471 \times 10^{11} \cdot 30.3}{1.521 \times 10^{11}} = \frac{44.57}{1.521} \approx 29.3$ km/s
✍️ Örnekler
Bir gezegenin yörüngesinde günberideki hızı $v_{max} = 35$ km/s, günberi uzaklığı $r_{min} = 1.2 \times 10^{11}$ m ise gezegenin kütlesi $m = 5 \times 10^{24}$ kg için açısal momentumu ve alan hızını bulunuz.
①
Açısal momentum
$L = m r_{min} v_{max} = 5 \times 10^{24} \cdot 1.2 \times 10^{11} \cdot 3.5 \times 10^{4} = 2.1 \times 10^{40}$ kg·m²/s
②
Alan hızı
$\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m} = \frac{2.1 \times 10^{40}}{2 \cdot 5 \times 10^{24}} = 2.1 \times 10^{15}$ m²/s
Merkür'ün yörüngesinin dışmerkezliği $e = 0.2056$, yarı büyük ekseni $a = 5.79 \times 10^{10}$ m'dir. Günberi ve günöte hızlarını bulunuz. (Merkür'ün günberi hızı $v_{max} \approx 58.98$ km/s biliniyor veya kütle çekiminden hesaplanabilir)
①
Günberi ve günöte uzaklıkları
$r_{min} = a(1-e) = 5.79 \times 10^{10} \cdot 0.7944 = 4.60 \times 10^{10}$ m
$r_{max} = a(1+e) = 5.79 \times 10^{10} \cdot 1.2056 = 6.98 \times 10^{10}$ m
②
Hız oranı
$v_{min} = v_{max} \cdot \frac{r_{min}}{r_{max}} = 58.98 \cdot \frac{4.60}{6.98} \approx 38.86$ km/s
📌 ÖZET
- Kepler 2. Yasa: Alan hızı sabittir ($dA/dt = \text{sabit}$)
- Fiziksel neden: Açısal momentum korunumu ($\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \text{sabit}$)
- Günberi: $r$ küçük, $v$ büyük
- Günöte: $r$ büyük, $v$ küçük
- $r_{min} v_{max} = r_{max} v_{min} = L/m$
← Ana modül sayfasına dön