🎯 AMAÇ
Bu bölümde, Kepler'in 3. yasasını öğreneceğiz. Gezegenlerin periyotlarının karelerinin, yörünge yarı büyük eksenlerinin küplerine oranının sabit olduğunu göreceğiz. Newton'un kütle çekim yasasını kullanarak bu yasayı türeteceğiz.
📜 Kepler'in 3. Yasası (1619)
📌 YASA (Harmoni Yasası)
Bir gezegenin yörünge periyodunun karesi, yörüngesinin yarı büyük ekseninin küpü ile orantılıdır.
$$ T^2 \propto a^3 \quad \Rightarrow \quad \frac{T^2}{a^3} = \text{sabit (tüm gezegenler için aynı)} $$
🔑 GÜNEŞ SİSTEMİ İÇİN SABİT
$$ \frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{GM_{\text{Güneş}}} \approx 2.97 \times 10^{-19} \text{ s}^2/\text{m}^3 $$
Burada $M_{\text{Güneş}} = 1.99 \times 10^{30}$ kg, $G = 6.67 \times 10^{-11}$ N·m²/kg²
🔧 Newton'un Yasasından Türetiliş (Dairesel Yörünge İçin)
Dairesel yörüngede gezegenin merkezcil ivmesi, kütle çekim kuvveti tarafından sağlanır:
$$ \frac{m v^2}{r} = G \frac{M m}{r^2} \quad \Rightarrow \quad v^2 = \frac{GM}{r} $$
Periyot $T = 2\pi r / v$ olduğundan:
$$ T^2 = \frac{4\pi^2 r^2}{v^2} = \frac{4\pi^2 r^2}{GM/r} = \frac{4\pi^2 r^3}{GM} $$
Dolayısıyla:
$$ \frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM} = \text{sabit} $$
Elips yörüngeler için de aynı ilişki $a$ (yarı büyük eksen) ile geçerlidir.
📌 GENEL FORM (Elips Yörüngeler İçin)
$$ \frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G(M + m)} \approx \frac{4\pi^2}{GM} \quad (M \gg m) $$
✍️ Örnekler
Mars'ın yörüngesinin yarı büyük ekseni $a = 2.279 \times 10^{11}$ m'dir. Mars'ın Güneş etrafındaki periyodunu bulunuz. (Dünya için $T_D = 1$ yıl, $a_D = 1.496 \times 10^{11}$ m)
①
Kepler 3. yasası
$\frac{T_M^2}{a_M^3} = \frac{T_D^2}{a_D^3}$
②
Oran
$\left(\frac{T_M}{T_D}\right)^2 = \left(\frac{a_M}{a_D}\right)^3 = \left(\frac{2.279}{1.496}\right)^3 = (1.523)^3 \approx 3.53$
③
Periyot
$T_M = \sqrt{3.53} \times 1 \text{ yıl} \approx 1.88$ yıl (bilinen değer: 1.88 yıl)
Dünya'nın yarıçapı $R = 6.37 \times 10^6$ m, kütlesi $M = 5.98 \times 10^{24}$ kg. Yer yüzeyinden $h = 400$ km yükseklikte dönen bir uydunun periyodunu bulunuz. ($G = 6.67 \times 10^{-11}$)
①
Yörünge yarıçapı
$r = R + h = 6.37 \times 10^6 + 4.00 \times 10^5 = 6.77 \times 10^6$ m
②
Periyot formülü
$T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}} = 2\pi \sqrt{\frac{(6.77 \times 10^6)^3}{6.67 \times 10^{-11} \cdot 5.98 \times 10^{24}}}$
③
Hesapla
$r^3 = 3.10 \times 10^{20}$, $GM = 3.99 \times 10^{14}$, $\sqrt{r^3/(GM)} = \sqrt{7.77 \times 10^5} \approx 881$ s, $T \approx 2\pi \cdot 881 \approx 5535$ s ≈ 92.25 dakika
Jüpiter'in periyodu $T_J = 11.86$ yıl ise yörünge yarı büyük eksenini bulunuz. (Dünya $a_D = 1 \text{ AU}$, $T_D = 1$ yıl)
①
Kepler 3. yasası
$\frac{T_J^2}{a_J^3} = \frac{T_D^2}{a_D^3} \Rightarrow a_J^3 = \frac{T_J^2}{T_D^2} \cdot a_D^3$
②
Hesapla
$a_J^3 = (11.86)^2 = 140.7$ (AU³) → $a_J = \sqrt[3]{140.7} \approx 5.20$ AU (bilinen değer: 5.20 AU)
📌 ÖZET
- Kepler 3. Yasa: $T^2 \propto a^3$
- Sabit: $\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$ (Güneş için)
- Dairesel yörüngede $T = 2\pi \sqrt{r^3/(GM)}$
- Gezegenlerin periyotları ve yarı büyük eksenleri arasında kuvvetli ilişki
- Uydu periyotları için aynı formül geçerlidir (merkez cismin kütlesi ile)
← Ana modül sayfasına dön