Çözümlü Örnekler – Kütle Çekimi ve Kepler Yasaları

Aşağıda "Kütle Çekimi ve Kepler Yasaları" konusunu pekiştirmek için hazırlanmış 15 örnek soru bulunmaktadır. Her sorunun altındaki "Çözümü Göster" butonuna tıklayarak adım adım çözüme ulaşabilirsiniz. ($G = 6.67 \times 10^{-11}$ N·m²/kg², $g=10$ m/s² alınız)

Soru 1 Kütle Çekimi

500 kg ve 800 kg kütleli iki cisim arasındaki uzaklık 20 m ise aralarındaki kütle çekim kuvvetini bulunuz.

Çözüm:
$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} = 6.67 \times 10^{-11} \cdot \frac{500 \cdot 800}{400} = 6.67 \times 10^{-11} \cdot 1000 = 6.67 \times 10^{-8}$ N

Soru 2 Kütle Çekimi

Dünya'nın kütlesi $M = 5.98 \times 10^{24}$ kg, yarıçapı $R = 6.37 \times 10^6$ m ise yerçekimi ivmesini hesaplayınız.

Çözüm:
$g = \frac{GM}{R^2} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \cdot 5.98 \times 10^{24}}{(6.37 \times 10^6)^2} = \frac{3.99 \times 10^{14}}{4.06 \times 10^{13}} \approx 9.83$ m/s²

Soru 3 Potansiyel Enerji

$m_1 = 1000$ kg, $m_2 = 2000$ kg kütleli iki cisim arasındaki uzaklık $r = 10$ m ise sistemin kütle çekim potansiyel enerjisini bulunuz.

Çözüm:
$U = -G \frac{m_1 m_2}{r} = -6.67 \times 10^{-11} \cdot \frac{1000 \cdot 2000}{10} = -1.334 \times 10^{-5}$ J

Soru 4 Uydu Hareketi

Dünya'dan $r = 6.8 \times 10^6$ m uzaklıkta dönen bir uydunun yörünge hızını bulunuz. ($M = 5.98 \times 10^{24}$ kg)

Çözüm:
$v = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} \cdot 5.98 \times 10^{24}}{6.8 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{3.99 \times 10^{14}}{6.8 \times 10^6}} = \sqrt{5.87 \times 10^7} \approx 7660$ m/s

Soru 5 Kepler 1. Yasa

Bir gezegenin yörüngesinin dışmerkezliği $e = 0.1$, yarı büyük ekseni $a = 2 \times 10^{11}$ m ise günberi ve günöte uzaklıklarını bulunuz.

Çözüm:
$r_{min} = a(1-e) = 2 \times 10^{11} \cdot 0.9 = 1.8 \times 10^{11}$ m
$r_{max} = a(1+e) = 2 \times 10^{11} \cdot 1.1 = 2.2 \times 10^{11}$ m

Soru 6 Kepler 2. Yasa

Bir gezegenin günberi hızı $v_{max} = 35$ km/s, günberi uzaklığı $r_{min} = 1.2 \times 10^{11}$ m ise günöte hızını bulunuz. ($r_{max} = 1.8 \times 10^{11}$ m)

Çözüm:
$r_{min} v_{max} = r_{max} v_{min} \Rightarrow v_{min} = \frac{1.2 \times 10^{11} \cdot 35}{1.8 \times 10^{11}} = \frac{42}{1.8} \approx 23.33$ km/s

Soru 7 Kepler 3. Yasa

Mars'ın yörünge yarı büyük ekseni $a_M = 2.28 \times 10^{11}$ m, Dünya'nınki $a_D = 1.50 \times 10^{11}$ m'dir. Mars'ın periyodunu bulunuz. (Dünya periyodu 1 yıl)

Çözüm:
$\frac{T_M^2}{a_M^3} = \frac{T_D^2}{a_D^3} \Rightarrow T_M = T_D \cdot \left(\frac{a_M}{a_D}\right)^{3/2} = 1 \cdot \left(\frac{2.28}{1.50}\right)^{1.5} = (1.52)^{1.5} \approx 1.87$ yıl

Soru 8 Uydu Hareketi

Yer yüzeyinden $h = 300$ km yükseklikte dönen bir uydunun periyodunu bulunuz. (Dünya yarıçapı $R = 6370$ km, $M = 5.98 \times 10^{24}$ kg, $G = 6.67 \times 10^{-11}$)

Çözüm:
$r = 6370 + 300 = 6670$ km $= 6.67 \times 10^6$ m
$T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}} = 2\pi \sqrt{\frac{(6.67 \times 10^6)^3}{6.67 \times 10^{-11} \cdot 5.98 \times 10^{24}}} \approx 2\pi \sqrt{\frac{2.97 \times 10^{20}}{3.99 \times 10^{14}}} = 2\pi \sqrt{7.44 \times 10^5} \approx 2\pi \cdot 862 \approx 5415$ s ≈ 90.25 dakika

Soru 9 Kepler 1. Yasa

Bir gezegenin günberi uzaklığı $1.4 \times 10^{11}$ m, günöte uzaklığı $1.6 \times 10^{11}$ m ise dışmerkezliğini bulunuz.

Çözüm:
$e = \frac{r_{max} - r_{min}}{r_{max} + r_{min}} = \frac{0.2 \times 10^{11}}{3.0 \times 10^{11}} = \frac{0.2}{3.0} \approx 0.0667$

Soru 10 Kepler 2. Yasa

Bir gezegenin kütlesi $m = 6 \times 10^{24}$ kg, günberi uzaklığı $r_{min} = 1.47 \times 10^{11}$ m, günberi hızı $v_{max} = 30.3$ km/s ise açısal momentumunu bulunuz.

Çözüm:
$L = m r v = 6 \times 10^{24} \cdot 1.47 \times 10^{11} \cdot 3.03 \times 10^{4} = 2.67 \times 10^{40}$ kg·m²/s

Soru 11 Kütle Çekimi

Bir gezegenin kütlesi Dünya'nın kütlesinin 2 katı, yarıçapı Dünya'nın yarıçapının 1.5 katı ise yüzeyindeki yerçekimi ivmesi Dünya'nınkinden kaç kat olur?

Çözüm:
$g \propto \frac{M}{R^2}$ ⇒ $\frac{g_{gezegen}}{g_{Dünya}} = \frac{2}{1.5^2} = \frac{2}{2.25} \approx 0.889$ kat

Soru 12 Kepler 3. Yasa

Dünya'nın yörünge yarıçapı $1.50 \times 10^{11}$ m, periyodu $3.16 \times 10^7$ s ise Güneş'in kütlesini bulunuz. ($G = 6.67 \times 10^{-11}$)

Çözüm:
$T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM} \Rightarrow M = \frac{4\pi^2 r^3}{G T^2} = \frac{4\pi^2 (1.50 \times 10^{11})^3}{6.67 \times 10^{-11} \cdot (3.16 \times 10^7)^2} = \frac{4\pi^2 \cdot 3.375 \times 10^{33}}{6.67 \times 10^{-11} \cdot 9.99 \times 10^{14}} \approx 2.00 \times 10^{30}$ kg

Soru 13 Kepler 2. Yasa

Bir gezegenin açısal momentumu $L = 5 \times 10^{40}$ kg·m²/s, kütlesi $m = 6 \times 10^{24}$ kg ise alan hızını bulunuz.

Çözüm:
$\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m} = \frac{5 \times 10^{40}}{2 \cdot 6 \times 10^{24}} = \frac{5 \times 10^{40}}{1.2 \times 10^{25}} = 4.17 \times 10^{15}$ m²/s

Soru 14 Kütle Çekimi

$m = 1000$ kg kütleli bir uydu, Dünya'dan $r = 7.0 \times 10^6$ m uzaklıkta dairesel yörüngededir. Uydunun toplam mekanik enerjisini bulunuz. ($M = 5.98 \times 10^{24}$ kg)

Çözüm:
$E = -\frac{GMm}{2r} = -\frac{6.67 \times 10^{-11} \cdot 5.98 \times 10^{24} \cdot 1000}{2 \cdot 7.0 \times 10^6} = -\frac{3.99 \times 10^{17}}{1.4 \times 10^7} \approx -2.85 \times 10^{10}$ J

Soru 15 Kepler 3. Yasa

Bir uydunun yörünge yarıçapı iki katına çıkarılırsa periyodu kaç kat olur?

Çözüm:
$T \propto r^{3/2}$ ⇒ $\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{2r}{r}\right)^{3/2} = 2^{3/2} = 2\sqrt{2} \approx 2.828$ kat

← Önceki: Kepler'in 3. Yasası (Periyot-Yarı Büyük Eksen) Sonraki: Kendinizi Test Edin →

← Ana modül sayfasına dön

📝 Çözümlü Örnekler