Çözümlü Örnekler – Vektörler

Aşağıda "Vektörler" konusunu pekiştirmek için hazırlanmış 10 örnek soru bulunmaktadır. Her sorunun altındaki "Çözümü Göster" butonuna tıklayarak adım adım çözüme ulaşabilirsiniz.

Soru 1 Vektör/Skaler

Aşağıdakilerden hangisi vektörel bir büyüklüktür?
(Kütle, Sıcaklık, Hız, Enerji, İş, Güç, Yer değiştirme, İvme, Kuvvet)

Çözüm:
Vektörel büyüklükler: Hız, Yer değiştirme, İvme, Kuvvet
Skaler büyüklükler: Kütle, Sıcaklık, Enerji, İş, Güç

Soru 2 Vektör Toplama

$\vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$, $\vec{B} = 2\hat{i} - \hat{j}$ ise $\vec{A} + \vec{B}$ vektörünü bulunuz.

Çözüm:
$\vec{R} = (3+2)\hat{i} + (4-1)\hat{j} = 5\hat{i} + 3\hat{j}$
$|\vec{R}| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34} \approx 5.83$

Soru 3 Bileşenler

Büyüklüğü 12 birim olan ve yatayla $150^\circ$ açı yapan bir vektörün bileşenlerini bulunuz.

Çözüm:
$A_x = A\cos\theta = 12 \cdot \cos150^\circ = 12 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -6\sqrt{3} \approx -10.39$
$A_y = A\sin\theta = 12 \cdot \sin150^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$
$\vec{A} = -6\sqrt{3}\,\hat{i} + 6\,\hat{j}$

Soru 4 Büyüklük ve Yön

$\vec{A} = -3\hat{i} + 4\hat{j}$ vektörünün büyüklüğünü ve yönünü ($x$ eksenine göre açısını) bulunuz.

Çözüm:
$|\vec{A}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$
$\theta_{\text{ref}} = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.13^\circ$
$A_x < 0$, $A_y > 0$ → 2. kadran → $\theta = 180^\circ - 53.13^\circ = 126.87^\circ$

Soru 5 Skaler Çarpım

$\vec{A} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$, $\vec{B} = 4\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ ise $\vec{A} \cdot \vec{B}$ kaçtır?

Çözüm:
$\vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(4) + (-3)(1) + (1)(-2) = 8 - 3 - 2 = 3$

Soru 6 Vektörel Çarpım

$\vec{A} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$, $\vec{B} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}$ ise $\vec{A} \times \vec{B}$'yi bulunuz.

Çözüm:
$\vec{A} \times \vec{B} = \det \begin{bmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$
$= \hat{i}(2\cdot6 - 3\cdot5) - \hat{j}(1\cdot6 - 3\cdot4) + \hat{k}(1\cdot5 - 2\cdot4)$
$= \hat{i}(12 - 15) - \hat{j}(6 - 12) + \hat{k}(5 - 8)$
$= -3\hat{i} + 6\hat{j} - 3\hat{k}$

Soru 7 Skaler Çarpım

Bir cisme $\vec{F} = 5\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ kuvveti etki ediyor. Cisim $\vec{d} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ yer değiştirmesi yapıyorsa, yapılan iş kaç Joule'dür?

Çözüm:
$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (5)(3) + (2)(4) + (-1)(2) = 15 + 8 - 2 = 21$ Joule

Soru 8 Vektörel Çarpım

$\vec{r} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ konum vektöründe uygulanan $\vec{F} = 4\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ kuvvetinin torkunu ($\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$) bulunuz.

Çözüm:
$\vec{\tau} = \det \begin{bmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \end{bmatrix}$
$= \hat{i}(3\cdot2 - 1\cdot1) - \hat{j}(2\cdot2 - 1\cdot4) + \hat{k}(2\cdot1 - 3\cdot4)$
$= \hat{i}(6 - 1) - \hat{j}(4 - 4) + \hat{k}(2 - 12)$
$= 5\hat{i} - 0\hat{j} - 10\hat{k} = 5\hat{i} - 10\hat{k}$

Soru 9 Vektör Kavramı

$\vec{A} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$ ve $\vec{B} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$ ise $\vec{A}$ ve $\vec{B}$ için ne söylenebilir?

Çözüm:
$\vec{A} = \vec{B}$ çünkü bileşenleri birebir aynı. Eşit vektörlerdir (büyüklük ve yön aynı).

Soru 10 Vektör Kavramı

$\vec{A} = 3\hat{i} - 5\hat{j} + 2\hat{k}$ ise $-\vec{A}$ vektörünü yazınız ve $|-\vec{A}|$'yı hesaplayınız.

Çözüm:
$-\vec{A} = -3\hat{i} + 5\hat{j} - 2\hat{k}$
$|-\vec{A}| = |\vec{A}| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 25 + 4} = \sqrt{38}$

← Önceki: Skaler ve Vektörel Çarpım Sonraki: Kendinizi Test Edin →

← Ana modül sayfasına dön

📝 Çözümlü Örnekler