Bu bölümde, vektörlerin iki farklı çarpım türünü öğreneceğiz: skaler çarpım (nokta çarpım) ve vektörel çarpım (çapraz çarpım). Fiziksel anlamları (iş, tork, açısal momentum) ve hesaplama yöntemleri ele alınacaktır.
Skaler çarpım, iki vektörün çarpımından elde edilen skaler bir büyüklüktür. $\vec{A} \cdot \vec{B}$ şeklinde gösterilir.
Burada $\theta$, iki vektör arasındaki açıdır.
Skaler çarpım, bir kuvvetin bir yer değiştirme boyunca yaptığı işi hesaplamada kullanılır: $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$
$|\vec{A}| = 4$, $|\vec{B}| = 5$, $\theta = 60^\circ$ ise $\vec{A} \cdot \vec{B}$ kaçtır?
$\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$, $\vec{B} = 4\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ ise $\vec{A} \cdot \vec{B}$ kaçtır?
Bir cisme $\vec{F} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ kuvveti etki ediyor. Cisim $\vec{d} = 2\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}$ yer değiştirmesi yapıyorsa, yapılan işi bulunuz.
Vektörel çarpım, iki vektörün çarpımından elde edilen vektörel bir büyüklüktür. $\vec{A} \times \vec{B}$ şeklinde gösterilir. Sonuç vektörü, her iki vektöre de diktir.
Yönü sağ el kuralı ile bulunur.
Vektörel çarpım, tork ($\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$) ve açısal momentum ($\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$) hesaplamada kullanılır.
$|\vec{A}| = 4$, $|\vec{B}| = 5$, $\theta = 30^\circ$ ise $|\vec{A} \times \vec{B}|$ kaçtır?
$\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$, $\vec{B} = 5\hat{i} + 6\hat{j} + 7\hat{k}$ ise $\vec{A} \times \vec{B}$'yi bulunuz.
Bir cisme $\vec{F} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ kuvveti, $\vec{r} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$ konum vektöründe uygulanıyorsa, torku bulunuz.
| Skaler Çarpım ($\cdot$) | Vektörel Çarpım ($\times$) | |
|---|---|---|
| Sonuç | Skaler (sayı) | Vektör |
| Formül | $AB\cos\theta$ | $AB\sin\theta$ (büyüklük) |
| Yön | Yok | Sağ el kuralı |
| Fiziksel örnek | İş ($W = \vec{F}\cdot\vec{d}$) | Tork ($\vec{\tau} = \vec{r}\times\vec{F}$) |
| Değişme özelliği | $\vec{A}\cdot\vec{B} = \vec{B}\cdot\vec{A}$ | $\vec{A}\times\vec{B} = -\vec{B}\times\vec{A}$ |