🎯 AMAÇ
Bu bölümde, bir vektörü bileşenlerine ayırmayı, birim vektörleri kullanarak vektör ifade etmeyi ve bileşenlerden vektörün büyüklük ve yönünü bulmayı öğreneceğiz.
🎯 Birim Vektörler
Birim vektör, büyüklüğü 1 olan vektördür. Yön belirtmek için kullanılır. Üç boyutlu uzayda temel birim vektörler:
| Birim Vektör | Yön | Gösterim |
|---|
| $\hat{i}$ | $x$ ekseni | $\hat{i} = \langle 1, 0, 0 \rangle$ |
| $\hat{j}$ | $y$ ekseni | $\hat{j} = \langle 0, 1, 0 \rangle$ |
| $\hat{k}$ | $z$ ekseni | $\hat{k} = \langle 0, 0, 1 \rangle$ |
📌 ÖZELLİK
Herhangi bir vektör, birim vektörler cinsinden ifade edilebilir: $\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}$
📏 Vektörün Bileşenleri
Bir $\vec{A}$ vektörünün $x$ ve $y$ bileşenleri, vektörün büyüklüğü $A$ ve yatayla yaptığı açı $\theta$ kullanılarak bulunur:
$$ A_x = A \cos\theta $$
$$ A_y = A \sin\theta $$
$$ \vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} $$
🔑 NOT
Açı $\theta$ genellikle pozitif $x$ ekseninden başlayarak saat yönünün tersine ölçülür.
Büyüklüğü 10 birim olan ve yatayla $30^\circ$ açı yapan bir vektörün bileşenlerini bulunuz.
①
$x$ bileşeni
$A_x = A \cos\theta = 10 \cdot \cos30^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.66$
②
$y$ bileşeni
$A_y = A \sin\theta = 10 \cdot \sin30^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$
③
Vektör gösterimi
$\vec{A} = 5\sqrt{3}\,\hat{i} + 5\,\hat{j}$
Büyüklüğü 8 birim olan ve yatayla $120^\circ$ açı yapan vektörün bileşenlerini bulunuz.
①
$x$ bileşeni
$A_x = 8 \cdot \cos120^\circ = 8 \cdot (-\frac{1}{2}) = -4$
②
$y$ bileşeni
$A_y = 8 \cdot \sin120^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \approx 6.93$
③
Vektör gösterimi
$\vec{A} = -4\,\hat{i} + 4\sqrt{3}\,\hat{j}$
🔍 Bileşenlerden Büyüklük ve Yön Bulma
Vektörün bileşenleri biliniyorsa, büyüklük ve yön şu şekilde bulunur:
$$ A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} $$
$$ \theta = \arctan\left(\frac{A_y}{A_x}\right) $$
⚠️ UYARI
$\arctan$ fonksiyonu her zaman doğru kadranı vermeyebilir. $A_x$ ve $A_y$'nin işaretlerine göre kadran belirlenmelidir.
$\vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ vektörünün büyüklüğünü ve yönünü bulunuz.
①
Büyüklük
$|\vec{A}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$
②
Yön (açı)
$\theta = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.13^\circ$ (1. kadran, çünkü $A_x>0$, $A_y>0$)
$\vec{B} = -2\hat{i} + 3\hat{j}$ vektörünün büyüklüğünü ve yönünü bulunuz.
①
Büyüklük
$|\vec{B}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} \approx 3.61$
②
Referans açısı
$\theta_{\text{ref}} = \arctan\left(\frac{3}{2}\right) \approx 56.31^\circ$
③
Kadran belirleme
$A_x<0$, $A_y>0$ → 2. kadran → $\theta = 180^\circ - 56.31^\circ = 123.69^\circ$
📌 ÖZET
- Birim vektörler: $\hat{i}$, $\hat{j}$, $\hat{k}$ (büyüklükleri 1'dir)
- Bileşenler: $A_x = A\cos\theta$, $A_y = A\sin\theta$
- Vektör gösterimi: $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j}$
- Büyüklük: $A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$
- Yön: $\theta = \arctan(A_y/A_x)$ (kadrana dikkat!)
← Ana modül sayfasına dön