🎯 AMAÇ
Bu bölümde, iki boyutta hareket eden cisimlerin konum, hız ve ivme vektörlerini öğreneceğiz. Hareketin $x$ ve $y$ bileşenlerinin birbirinden bağımsız olduğunu ve ayrı ayrı incelenebileceğini göreceğiz.
📍 Konum Vektörü
İki boyutta bir cismin konumu, konum vektörü $\vec{r}(t)$ ile gösterilir:
$$ \vec{r}(t) = x(t)\,\hat{i} + y(t)\,\hat{j} $$
Burada $x(t)$ ve $y(t)$, cismin $x$ ve $y$ koordinatlarının zamanla değişimini verir.
📌 YER DEĞİŞTİRME VEKTÖRÜ
$\Delta \vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = (x_2 - x_1)\hat{i} + (y_2 - y_1)\hat{j}$
⚡ Hız Vektörü
Ortalama Hız Vektörü
$$ \vec{v}_{ort} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{\Delta x}{\Delta t}\,\hat{i} + \frac{\Delta y}{\Delta t}\,\hat{j} $$
Anlık Hız Vektörü
$$ \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\,\hat{i} + \frac{dy}{dt}\,\hat{j} = v_x(t)\,\hat{i} + v_y(t)\,\hat{j} $$
Hızın büyüklüğü (sürat): $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$
📈 İvme Vektörü
$$ \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{dv_x}{dt}\,\hat{i} + \frac{dv_y}{dt}\,\hat{j} = a_x(t)\,\hat{i} + a_y(t)\,\hat{j} $$
İvmenin büyüklüğü: $a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$
🔑 HAREKETİN BAĞIMSIZLIK İLKESİ
$x$ ve $y$ yönündeki hareketler birbirinden bağımsızdır. Yani $x$ bileşenini hesaplarken $y$ bileşenini, $y$ bileşenini hesaplarken $x$ bileşenini bilmeye gerek yoktur. Bu ilke, atış hareketi problemlerini çözmede temel oluşturur.
📊 Sabit İvmeli 2B Hareket Denklemleri
İvme vektörü sabit ise ($\vec{a} = a_x\hat{i} + a_y\hat{j}$), her bileşen için tek boyuttaki kinematik denklemler geçerlidir:
| $x$ bileşeni | $y$ bileşeni |
|---|
| $v_x = v_{0x} + a_x t$ | $v_y = v_{0y} + a_y t$ |
| $x = x_0 + v_{0x}t + \frac{1}{2}a_x t^2$ | $y = y_0 + v_{0y}t + \frac{1}{2}a_y t^2$ |
| $v_x^2 = v_{0x}^2 + 2a_x(x-x_0)$ | $v_y^2 = v_{0y}^2 + 2a_y(y-y_0)$ |
✍️ Örnekler
Bir cismin konumu $\vec{r}(t) = (2t^2 + 3t)\hat{i} + (4t - 5)\hat{j}$ (m) ile veriliyor. $t=2$ s anındaki hız ve ivme vektörlerini bulunuz.
①
Hız vektörü
$\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = (4t + 3)\hat{i} + 4\hat{j}$
②
$t=2$'de hız
$\vec{v}(2) = (4(2)+3)\hat{i} + 4\hat{j} = 11\hat{i} + 4\hat{j}$ m/s, $|v| = \sqrt{121+16} \approx 11.70$ m/s
③
İvme vektörü
$\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = 4\hat{i} + 0\hat{j} = 4\hat{i}$ m/s² (sabit)
Bir cismin hızı $\vec{v}(t) = (6t)\hat{i} + (8)\hat{j}$ (m/s) ile veriliyor. $t=0$'da $x_0=2$ m, $y_0=1$ m ise konum vektörünü bulunuz.
①
$x$ bileşeni
$x(t) = x_0 + \int_0^t v_x dt = 2 + \int_0^t 6t dt = 2 + 3t^2$
②
$y$ bileşeni
$y(t) = y_0 + \int_0^t v_y dt = 1 + \int_0^t 8 dt = 1 + 8t$
③
Konum vektörü
$\vec{r}(t) = (2 + 3t^2)\hat{i} + (1 + 8t)\hat{j}$
Bir cisim $t=0$'da $v_{0x}=5$ m/s, $v_{0y}=0$ ile hareket ediyor. $a_x=2$ m/s², $a_y=3$ m/s² ise $t=4$ s'deki konumunu ve hızını bulunuz. ($x_0=0$, $y_0=0$)
①
$x$ bileşeni
$v_x = 5 + 2(4) = 13$ m/s, $x = 0 + 5(4) + \frac{1}{2}(2)(16) = 20 + 16 = 36$ m
②
$y$ bileşeni
$v_y = 0 + 3(4) = 12$ m/s, $y = 0 + 0 + \frac{1}{2}(3)(16) = 24$ m
③
Sonuç
$\vec{r} = 36\hat{i} + 24\hat{j}$ m, $\vec{v} = 13\hat{i} + 12\hat{j}$ m/s
📌 ÖZET
- Konum vektörü: $\vec{r}(t) = x(t)\hat{i} + y(t)\hat{j}$
- Hız vektörü: $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = v_x\hat{i} + v_y\hat{j}$
- İvme vektörü: $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = a_x\hat{i} + a_y\hat{j}$
- Hareketin bağımsızlık ilkesi: $x$ ve $y$ hareketleri birbirinden bağımsızdır
- 2 boyutta problem çözerken, her bileşeni ayrı ayrı 1 boyutlu hareket gibi işle
← Ana modül sayfasına dön