🎯 AMAÇ
Bu bölümde, yatay veya eğik olarak atılan cisimlerin hareketini inceleyeceğiz. Yatay atış, eğik atış, menzil, maksimum yükseklik ve uçuş süresi kavramlarını öğreneceğiz.
📐 Atış Hareketinin Temel Prensipleri
Atış hareketi, iki boyutta sabit ivmeli hareketin özel bir durumudur. Yerçekimi ivmesi $g$ sadece düşey yönde etki eder, yatay yönde ivme yoktur ($a_x = 0$, $a_y = -g$).
📌 BAŞLANGIÇ KOŞULLARI
Bir cisim $v_0$ hızıyla yatayla $\theta$ açısı yapacak şekilde atılırsa:
$$ v_{0x} = v_0 \cos\theta $$
$$ v_{0y} = v_0 \sin\theta $$
📉 Yatay Atış ($\theta = 0^\circ$)
Cisim yatay olarak atıldığında $v_{0x} = v_0$, $v_{0y}=0$:
| Bileşen | Hız | Konum |
|---|
| $x$ yönü | $v_x = v_0$ (sabit) | $x = v_0 t$ |
| $y$ yönü | $v_y = -gt$ | $y = h - \frac{1}{2}gt^2$ |
Bir cisim 80 m yükseklikten 20 m/s yatay hızla atılıyor. ($g=10$ m/s²)
①
Düşme süresi
$h = \frac{1}{2}gt^2 \Rightarrow 80 = 5t^2 \Rightarrow t = 4$ s
②
Yatay mesafe (menzil)
$x = v_0 t = 20 \cdot 4 = 80$ m
③
Yere çarpma hızı
$v_x = 20$ m/s, $v_y = gt = 40$ m/s → $v = \sqrt{20^2 + 40^2} = \sqrt{400+1600} = \sqrt{2000} \approx 44.72$ m/s
📈 Eğik Atış ($\theta > 0^\circ$)
| Bileşen | Hız | Konum |
|---|
| $x$ yönü | $v_x = v_0 \cos\theta$ (sabit) | $x = (v_0 \cos\theta) t$ |
| $y$ yönü | $v_y = v_0 \sin\theta - gt$ | $y = (v_0 \sin\theta) t - \frac{1}{2}gt^2$ |
Uçuş Süresi ($T$)
$$ T = \frac{2v_0 \sin\theta}{g} $$
Maksimum Yükseklik ($H$)
$$ H = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g} $$
Menzil ($R$)
$$ R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} $$
📌 ÖNEMLİ NOT
Menzil $\theta = 45^\circ$ için maksimumdur. $\sin(90^\circ) = 1$ olduğundan $R_{max} = \frac{v_0^2}{g}$.
Bir cisim $v_0=20$ m/s hızla $30^\circ$ açıyla atılıyor. ($g=10$ m/s²)
①
Bileşenler
$v_{0x}=20\cos30^\circ=20\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\approx17.32$ m/s, $v_{0y}=20\sin30^\circ=20\cdot\frac{1}{2}=10$ m/s
②
Uçuş süresi
$T = \frac{2v_{0y}}{g} = \frac{20}{10} = 2$ s
③
Maksimum yükseklik
$H = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{100}{20} = 5$ m
④
Menzil
$R = v_{0x} \cdot T = 17.32 \cdot 2 \approx 34.64$ m veya $R = \frac{v_0^2 \sin60^\circ}{10} = \frac{400 \cdot 0.866}{10} \approx 34.64$ m
📐 Yörünge Denklemi
$t = x / (v_0 \cos\theta)$ ifadesini $y$ denkleminde yerine koyarsak:
$$ y = x\tan\theta - \frac{g x^2}{2v_0^2 \cos^2\theta} $$
Bu denklem bir parabol denklemidir. Atış hareketi parabolik bir yörünge izler.
✍️ Ek Örnekler
Hangi açıda atılan bir cisim ile $90^\circ - \theta$ açısında atılan bir cisim aynı menzile sahiptir?
①
Menzil formülü
$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$
②
$\sin(2\theta) = \sin(180^\circ - 2\theta)$
$\theta$ ve $90^\circ - \theta$ için $\sin(2\theta) = \sin(180^\circ - 2\theta) = \sin(2(90^\circ-\theta))$ olduğundan menziller eşittir.
$v_0=25$ m/s, $\theta=37^\circ$ ($\sin37^\circ=0.6$, $\cos37^\circ=0.8$) ile atılan cismin maksimum yüksekliğinin yarısındaki hızını bulunuz. ($g=10$ m/s²)
①
Maksimum yükseklik
$H = \frac{(25\cdot0.6)^2}{20} = \frac{225}{20} = 11.25$ m, yarısı $5.625$ m
②
$y=5.625$ m'de düşey hız
$v_y^2 = v_{0y}^2 - 2gy = 225 - 2\cdot10\cdot5.625 = 225 - 112.5 = 112.5$ → $v_y \approx 10.61$ m/s
③
Yatay hız (sabit)
$v_x = 25\cdot0.8 = 20$ m/s
④
Bileşke hız
$v = \sqrt{20^2 + 10.61^2} = \sqrt{400 + 112.5} = \sqrt{512.5} \approx 22.64$ m/s
📌 ÖZET
- Yatay atış: $v_x$ sabit, $v_y = -gt$, $x = v_0 t$, $y = h - \frac{1}{2}gt^2$
- Eğik atış: $v_{0x}=v_0\cos\theta$, $v_{0y}=v_0\sin\theta$
- Uçuş süresi: $T = 2v_0\sin\theta / g$
- Maksimum yükseklik: $H = v_0^2\sin^2\theta / (2g)$
- Menzil: $R = v_0^2\sin(2\theta) / g$, maksimum $\theta = 45^\circ$'de
- Yörünge denklemi: $y = x\tan\theta - \frac{g x^2}{2v_0^2\cos^2\theta}$ (parabol)
← Ana modül sayfasına dön