Çözümlü Örnekler – Elektrik Potansiyel – Fizik-2

Soru 1 Potansiyel Enerji

$q_1 = 3 \times 10^{-6} \text{ C}$ ve $q_2 = -4 \times 10^{-6} \text{ C}$ yükleri birbirinden $r = 0.2 \text{ m}$ uzaklıkta bulunmaktadır. Sistemin elektrik potansiyel enerjisini bulunuz. ($k = 9 \times 10^9$)

Çözüm:
$U = k \dfrac{q_1 q_2}{r} = 9 \times 10^9 \times \dfrac{(3 \times 10^{-6})(-4 \times 10^{-6})}{0.2}$
$U = 9 \times 10^9 \times \dfrac{-12 \times 10^{-12}}{0.2} = 9 \times 10^9 \times (-6 \times 10^{-11}) = -0.54 \text{ J}$
Cevap: $\boxed{U = -0.54 \text{ J}}$

Soru 2 Noktasal Yük Potansiyeli

$q = 5 \times 10^{-6} \text{ C}$'luk bir noktasal yükten $r = 0.25 \text{ m}$ uzaklıktaki elektrik potansiyelini bulunuz.

Çözüm:
$V = k \dfrac{q}{r} = 9 \times 10^9 \times \dfrac{5 \times 10^{-6}}{0.25} = 9 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-5} = 1.8 \times 10^5 \text{ V}$
Cevap: $\boxed{V = 1.8 \times 10^5 \text{ V}}$

Soru 3 Süperpozisyon

$q_1 = 4 \times 10^{-6} \text{ C}$ yükü $x=0$ noktasında, $q_2 = -2 \times 10^{-6} \text{ C}$ yükü $x=0.3 \text{ m}$ noktasındadır. $x=0.1 \text{ m}$ noktasındaki toplam potansiyeli bulunuz.

Çözüm:
$r_1 = 0.1 \text{ m}$, $r_2 = 0.2 \text{ m}$
$V_1 = 9 \times 10^9 \times \dfrac{4 \times 10^{-6}}{0.1} = 3.6 \times 10^5 \text{ V}$
$V_2 = 9 \times 10^9 \times \dfrac{-2 \times 10^{-6}}{0.2} = -9 \times 10^4 \text{ V}$
$V_{\text{toplam}} = 3.6 \times 10^5 - 9 \times 10^4 = 2.7 \times 10^5 \text{ V}$
Cevap: $\boxed{V = 2.7 \times 10^5 \text{ V}}$

Soru 4 Potansiyel Fark

Bir $q = 2 \times 10^{-6} \text{ C}$ yükünü A noktasından B noktasına götürmek için $W = 5 \times 10^{-4} \text{ J}$ iş yapılıyor. A ve B noktaları arasındaki potansiyel farkı bulunuz.

Çözüm:
$\Delta V = \dfrac{W}{q} = \dfrac{5 \times 10^{-4}}{2 \times 10^{-6}} = 250 \text{ V}$
Cevap: $\boxed{\Delta V = 250 \text{ V}}$

Soru 5 Düzgün Alan

$E = 300 \text{ N/C}$'luk düzgün bir elektrik alanda, alan yönünde $d = 0.4 \text{ m}$ uzaklıktaki iki nokta arasındaki potansiyel farkı bulunuz.

Çözüm:
$\Delta V = -E \cdot d = -300 \times 0.4 = -120 \text{ V}$
Cevap: $\boxed{\Delta V = -120 \text{ V}}$

Soru 6 Sürekli Yük Dağılımı

Yarıçapı $R = 0.1 \text{ m}$, toplam yükü $Q = 6 \times 10^{-6} \text{ C}$ olan düzgün yüklü bir halkanın merkezinden $x = 0.15 \text{ m}$ uzaklıktaki eksen üzerindeki potansiyelini bulunuz.

Çözüm:
$V = \dfrac{kQ}{\sqrt{x^2 + R^2}} = \dfrac{9 \times 10^9 \times 6 \times 10^{-6}}{\sqrt{(0.15)^2 + (0.1)^2}} = \dfrac{54000}{\sqrt{0.0225 + 0.01}} = \dfrac{54000}{0.1803} = 3.0 \times 10^5 \text{ V}$
Cevap: $\boxed{V = 3.0 \times 10^5 \text{ V}}$

Soru 7 Elektronvolt

Bir elektron, potansiyel farkı $\Delta V = 1000 \text{ V}$ olan iki nokta arasında hareket ediyor. Elektronun kazandığı kinetik enerjiyi eV ve Joule cinsinden bulunuz. ($e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$)

Çözüm:
$\Delta K = e \cdot \Delta V = 1.6 \times 10^{-19} \times 1000 = 1.6 \times 10^{-16} \text{ J}$
$1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$ olduğundan: $\Delta K = 1000 \text{ eV}$
Cevap: $\boxed{\Delta K = 1000 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-16} \text{ J}}$

Soru 8 Potansiyelden Alan

Bir bölgede elektrik potansiyel $V(x) = 4x^2 - 3x$ Volt olarak veriliyor. $x = 2 \text{ m}$ noktasındaki elektrik alanı bulunuz.

Çözüm:
$E_x = -\dfrac{dV}{dx} = -(8x - 3) = -8x + 3$
$E_x(2) = -8 \times 2 + 3 = -16 + 3 = -13 \text{ N/C}$
Cevap: $\boxed{\vec{E} = -13 \ \hat{i} \text{ N/C}}$

Soru 9 İletken Küre

Yarıçapı $R = 0.05 \text{ m}$ olan iletken bir kürenin yüzeyinde $Q = 3 \times 10^{-6} \text{ C}$ yük bulunmaktadır. Kürenin içindeki ve yüzeyindeki potansiyeli bulunuz.

Çözüm:
İletken kürenin içinde ve yüzeyinde potansiyel aynıdır:
$V = k \dfrac{Q}{R} = 9 \times 10^9 \times \dfrac{3 \times 10^{-6}}{0.05} = 5.4 \times 10^5 \text{ V}$
Cevap: $\boxed{V = 5.4 \times 10^5 \text{ V}}$ (tüm küre)

Soru 10 Eşpotansiyel Yüzey

$V(x,y) = 3x + 4y$ şeklinde verilen bir potansiyel için eşpotansiyel yüzeylerin şekli nedir? $x=1$, $y=2$ noktasındaki elektrik alanı bulunuz.

Çözüm:
$E_x = -\dfrac{\partial V}{\partial x} = -3$, $E_y = -\dfrac{\partial V}{\partial y} = -4$
$\vec{E} = -3 \hat{i} - 4 \hat{j} \text{ N/C}$
Eşpotansiyel yüzeyler: $3x + 4y = \text{sabit}$ (düzlemler)
Cevap: $\boxed{\vec{E} = -3 \hat{i} - 4 \hat{j} \text{ N/C}}$

Soru 11 Potansiyel Enerji

Bir eşkenar üçgenin köşelerinde $q_1 = 2 \mu C$, $q_2 = 2 \mu C$, $q_3 = -2 \mu C$ yükleri bulunmaktadır. Kenar uzunluğu $a = 0.1 \text{ m}$'dir. Sistemin toplam potansiyel enerjisini bulunuz.

Çözüm:
$U = U_{12} + U_{13} + U_{23}$
$U_{12} = 9 \times 10^9 \times \dfrac{4 \times 10^{-12}}{0.1} = 0.36 \text{ J}$
$U_{13} = 9 \times 10^9 \times \dfrac{-4 \times 10^{-12}}{0.1} = -0.36 \text{ J}$
$U_{23} = 9 \times 10^9 \times \dfrac{-4 \times 10^{-12}}{0.1} = -0.36 \text{ J}$
$U_{\text{toplam}} = 0.36 - 0.36 - 0.36 = -0.36 \text{ J}$
Cevap: $\boxed{U = -0.36 \text{ J}}$

Soru 12 Sürekli Yük Dağılımı

Uzunluğu $L = 0.2 \text{ m}$, toplam yükü $Q = 5 \times 10^{-6} \text{ C}$ olan düzgün yüklü ince bir çubuğun bir ucundan $a = 0.1 \text{ m}$ uzaklıktaki noktadaki potansiyelini bulunuz. (Çubuğun bir ucu $x=0$'da)

Çözüm:
$\lambda = Q/L = 2.5 \times 10^{-5} \text{ C/m}$
$V = k\lambda \ln\left(\dfrac{a+L}{a}\right) = 9 \times 10^9 \times 2.5 \times 10^{-5} \times \ln\left(\dfrac{0.3}{0.1}\right)$
$V = 2.25 \times 10^5 \times \ln(3) = 2.25 \times 10^5 \times 1.099 = 2.47 \times 10^5 \text{ V}$
Cevap: $\boxed{V = 2.47 \times 10^5 \text{ V}}$

Soru 13 İş ve Potansiyel

Bir noktada elektrik potansiyel $V = 200 \text{ V}$'dur. $q = 4 \times 10^{-6} \text{ C}$'luk bir yükü bu noktadan sonsuza götürmek için yapılması gereken işi bulunuz. ($V_\infty = 0$)

Çözüm:
$W = q \cdot \Delta V = q \cdot (V_\infty - V) = 4 \times 10^{-6} \times (0 - 200) = -8 \times 10^{-4} \text{ J}$
Negatif işaret, işin elektrik alan tarafından yapıldığını gösterir.
Cevap: $\boxed{W = -8 \times 10^{-4} \text{ J}}$

Soru 14 Potansiyel Gradyanı

Bir bölgede potansiyel $V(x,y,z) = 2xy + 3z$ şeklinde veriliyor. $\vec{E}$'yi bulunuz.

Çözüm:
$E_x = -\dfrac{\partial V}{\partial x} = -2y$
$E_y = -\dfrac{\partial V}{\partial y} = -2x$
$E_z = -\dfrac{\partial V}{\partial z} = -3$
$\vec{E} = -2y \hat{i} - 2x \hat{j} - 3 \hat{k} \text{ N/C}$
Cevap: $\boxed{\vec{E} = -2y \hat{i} - 2x \hat{j} - 3 \hat{k} \text{ N/C}}$

Soru 15 Sürekli Yük Dağılımı

Yarıçapı $R = 0.1 \text{ m}$, yüzey yük yoğunluğu $\sigma = 4 \times 10^{-6} \text{ C/m}^2$ olan düzgün yüklü bir diskin merkezinden $x = 0.05 \text{ m}$ uzaklıktaki eksen üzerindeki potansiyelini bulunuz.

Çözüm:
$V = 2\pi k\sigma \left( \sqrt{x^2 + R^2} - |x| \right)$
$V = 2\pi \times 9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6} \times \left( \sqrt{0.0025 + 0.01} - 0.05 \right)$
$V = 2.26 \times 10^5 \times \left( \sqrt{0.0125} - 0.05 \right) = 2.26 \times 10^5 \times (0.1118 - 0.05)$
$V = 2.26 \times 10^5 \times 0.0618 = 1.40 \times 10^4 \text{ V}$
Cevap: $\boxed{V = 1.40 \times 10^4 \text{ V}}$

📝 Çözümlü Örnekler