🎯 AMAÇ
Bu bölümde, elektrik alan ile elektrik potansiyel arasındaki temel ilişkiyi, potansiyelden elektrik alanı nasıl bulacağımızı ve bu ilişkinin fiziksel anlamını öğreneceğiz.
📌 Temel İlişki
Elektrik alan $\vec{E}$ ile elektrik potansiyel $V$ arasındaki ilişki:
$$ \vec{E} = -\nabla V $$
Burada $\nabla$ (nabla) gradyan operatörüdür. Kartezyen koordinatlarda:
$$ \vec{E} = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right) $$
📌 FİZİKSEL ANLAM
Elektrik alan, potansiyelin en hızlı azaldığı yönü gösterir. Elektrik alan çizgileri, yüksek potansiyelden düşük potansiyele doğru yönelir.
📏 Bir Boyutta Elektrik Alan
Potansiyel sadece $x$'e bağlı ise ($V = V(x)$):
$$ E_x = -\frac{dV}{dx} $$
Bir bölgede elektrik potansiyel $V(x) = 3x^2 - 2x$ Volt olarak veriliyor. $x = 1 \text{ m}$ noktasındaki elektrik alanı bulunuz.
1
Formülü yaz
$E_x = -\dfrac{dV}{dx}$
2
Türevi al
$\dfrac{dV}{dx} = 6x - 2$
3
$x=1$ için
$E_x = -(6 \times 1 - 2) = -(6 - 2) = -4 \text{ N/C}$
$\boxed{\vec{E} = -4 \ \hat{i} \text{ N/C}}$
📐 İki ve Üç Boyutta Elektrik Alan
Bir bölgede elektrik potansiyel $V(x,y) = 2x^2 + 3y^2$ Volt olarak veriliyor. $x = 1 \text{ m}$, $y = 2 \text{ m}$ noktasındaki elektrik alanı bulunuz.
1
Kısmi türevleri al
$E_x = -\dfrac{\partial V}{\partial x} = -4x$, $E_y = -\dfrac{\partial V}{\partial y} = -6y$
2
Değerleri yerine koy
$E_x(1,2) = -4 \times 1 = -4 \text{ N/C}$, $E_y(1,2) = -6 \times 2 = -12 \text{ N/C}$
3
Vektör olarak yaz
$\vec{E} = -4 \hat{i} - 12 \hat{j} \text{ N/C}$
$\boxed{\vec{E} = -4 \hat{i} - 12 \hat{j} \text{ N/C}}$
Büyüklük: $|\vec{E}| = \sqrt{(-4)^2 + (-12)^2} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160} \approx 12.65 \text{ N/C}$
⚪ Küresel Koordinatlarda Elektrik Alan
Küresel simetrik bir potansiyel için ($V = V(r)$):
$$ E_r = -\frac{dV}{dr} $$
Bir noktasal yükün potansiyeli $V(r) = k \dfrac{q}{r}$ olarak veriliyor. Bu potansiyelden elektrik alanı bulunuz.
1
Türevi al
$\dfrac{dV}{dr} = kq \cdot \dfrac{d}{dr}(r^{-1}) = kq \cdot (-1) \cdot r^{-2} = -\dfrac{kq}{r^2}$
2
$E_r$'yi bul
$E_r = -\dfrac{dV}{dr} = -\left(-\dfrac{kq}{r^2}\right) = \dfrac{kq}{r^2}$
$\boxed{\vec{E} = \dfrac{kq}{r^2} \hat{r}}$ (Coulomb yasası)
🔌 Potansiyelden Elektrik Alan Çizgilerini Bulma
Elektrik alan çizgileri, potansiyelin sabit olduğu yüzeylere (eşpotansiyel yüzeylere) diktir. Elektrik alan vektörü, potansiyelin en hızlı azaldığı yönü gösterir.
Bir bölgede eşpotansiyel yüzeyler $x^2 + y^2 = \text{sabit}$ şeklinde silindirler ise, elektrik alanın yönü nedir?
1
Eşpotansiyel yüzeyleri incele
$x^2 + y^2 = \text{sabit}$ silindirik yüzeylerdir (dairesel silindirler).
2
Alan yönünü belirle
Elektrik alan, eşpotansiyel yüzeylere diktir. Dairesel silindirlere dik yön radyal yöndür. Bu nedenle elektrik alan, silindirin ekseninden dışarı veya içeri doğru radyal yöndedir.
$\boxed{\vec{E} \text{ radyal yöndedir}}$
Bir bölgede elektrik potansiyel $V(x,y) = 2x + 3y$ şeklinde veriliyor. Eşpotansiyel yüzeylerin şekli nedir? Elektrik alanı bulunuz.
1
Eşpotansiyel yüzeyleri bul
$2x + 3y = \text{sabit}$ ⇒ $y = -\dfrac{2}{3}x + \text{sabit}$ (düz çizgiler)
2
Elektrik alanı bul
$E_x = -\dfrac{\partial V}{\partial x} = -2$, $E_y = -\dfrac{\partial V}{\partial y} = -3$
3
Alan vektörü
$\vec{E} = -2 \hat{i} - 3 \hat{j} \text{ N/C}$
4
Diklik kontrolü
Eşpotansiyel çizgilerin eğimi $-2/3$, elektrik alan vektörünün eğimi $(-3)/(-2) = 1.5$. Çarpımları $(-2/3) \times 1.5 = -1$ ⇒ Dikler.
$\boxed{\vec{E} = -2 \hat{i} - 3 \hat{j} \text{ N/C}}$
📐 Düzgün Elektrik Alanda Potansiyel
Düzgün bir elektrik alanda ($\vec{E} = \text{sabit}$), potansiyel:
$$ V(\vec{r}) = -\vec{E} \cdot \vec{r} + \text{sabit} $$
Düzgün bir elektrik alan $\vec{E} = 5 \hat{i} \text{ N/C}$'dir. $V(0,0) = 10 \text{ V}$ olarak veriliyor. $x = 2 \text{ m}$ noktasındaki potansiyeli bulunuz.
1
Formülü yaz
$V(x) = -E_x \cdot x + V_0$
2
Değerleri yerine koy
$V(2) = -5 \times 2 + 10 = -10 + 10 = 0 \text{ V}$
$\boxed{V(2) = 0 \text{ V}}$
📌 ÖZET
- $\vec{E} = -\nabla V$ (3 boyutta), $E_x = -\dfrac{\partial V}{\partial x}$, $E_y = -\dfrac{\partial V}{\partial y}$, $E_z = -\dfrac{\partial V}{\partial z}$
- Bir boyutta: $E = -\dfrac{dV}{dx}$
- Küresel simetride: $E_r = -\dfrac{dV}{dr}$
- Düzgün alanda: $V = -\vec{E} \cdot \vec{r} + \text{sabit}$
- Elektrik alan, potansiyelin en hızlı azaldığı yönü gösterir
← Modül ana sayfasına dön