Aşağıda "Gauss Yasası" konusunu derinlemesine kavramak ve pekiştirmek amacıyla tasarlanmış 15 adet akademik örnek soru yer almaktadır. Her sorunun altındaki "Çözümü Göster" butonunu kullanarak detaylı işlem adımlarına ulaşabilirsiniz.
Soru 1Elektrik Akısı
$E = 3 \times 10^3 \text{ N/C}$ değerindeki düzgün bir elektrik alan, kenar uzunluğu $0{,}1 \text{ m}$ olan kare kesitli bir yüzeye etki etmektedir. Yüzey normali alan çizgileriyle $60^\circ$lik açı yapıyorsa, bu yüzeyden geçen net elektrik akısını bulunuz.
Değeri $q = 3 \times 10^{-6} \text{ C}$ olan noktasal bir yükten $r = 0{,}2 \text{ m}$ uzaklıkta meydana gelen elektrik alanı Gauss yasasından yararlanarak bulunuz.
Çözüm:
Noktasal yükü merkez alan $r$ yarıçaplı küresel bir Gauss yüzeyi seçtiğimizde yüzey integrali:
$E \cdot 4\pi r^2 = \dfrac{q}{\varepsilon_0}$ şeklini alır.
Buradan elektrik alanı çekersek ($k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N·m}^2/\text{C}^2$):
$E = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = 9 \times 10^9 \times \dfrac{3 \times 10^{-6}}{(0{,}2)^2} = 9 \times 10^9 \times 7{,}5 \times 10^{-5} = 6{,}75 \times 10^5 \text{ N/C}$ Cevap: $\boxed{E = 6{,}75 \times 10^5 \text{ N/C}}$
Soru 3Küresel Simetri (İçi Boş Küre)
Dış yarıçapı $R = 0{,}1 \text{ m}$ ve net yükü $Q = 5 \times 10^{-6} \text{ C}$ olan düzgün yüklü yalıtkan ince küresel bir kabuğun merkezinden $r = 0{,}05 \text{ m}$ ve $r = 0{,}15 \text{ m}$ mesafelerdeki elektrik alan şiddetlerini hesaplayınız.
Çözüm:
1) $r = 0{,}05 \text{ m} < R$ (Küre içi): Seçilen Gauss yüzeyinin içinde kalan net yük $Q_{\text{iç}} = 0$ olduğu için, Gauss yasası gereğince iç bölgedeki elektrik alan **$E = 0$** olur.
2) $r = 0{,}15 \text{ m} > R$ (Küre dışı): Yüzey dışındaki tüm yük merkezde toplanmış gibi davranır:
$E = 9 \times 10^9 \times \dfrac{5 \times 10^{-6}}{(0{,}15)^2} = 9 \times 10^9 \times 2{,}22 \times 10^{-4} = 2 \times 10^6 \text{ N/C}$ Cevap: $\boxed{E_{\text{iç}} = 0,\quad E_{\text{dış}} = 2 \times 10^6 \text{ N/C}}$
Soru 4Küresel Simetri (Yüklü Yalıtkan Katı Küre)
Yarıçapı $R = 0{,}12 \text{ m}$ ve toplam net yükü $Q = 8 \times 10^{-6} \text{ C}$ olan düzgün yük dağılımlı yalıtkan katı bir kürenin merkezinden $r = 0{,}06 \text{ m}$ ve $r = 0{,}18 \text{ m}$ uzaklıktaki elektrik alan değerlerini bulunuz.
Yarıçapı $R = 0{,}05 \text{ m}$ olan iletken bir kürenin net yükü $Q = 2 \times 10^{-6} \text{ C}$'dur. Kürenin içindeki bir noktada ($r = 0{,}02 \text{ m}$) ve dışındaki bir noktada ($r = 0{,}08 \text{ m}$) elektrik alan şiddetini tayin ediniz.
Çözüm:
1) $r = 0{,}02 \text{ m} < R$: İletkenlerin içindeki net statik elektrik alan daima sıfırdır, çünkü tüm yükler iletkenin dış yüzeyinde konumlanır. Bu nedenle **$E = 0$** olur.
2) $r = 0{,}08 \text{ m} > R$: İletkenin dışındaki elektrik alan hesaplanırken küre noktasal bir yük kabul edilir:
$E = 9 \times 10^9 \times \dfrac{2 \times 10^{-6}}{(0{,}08)^2} = 9 \times 10^9 \times 3{,}125 \times 10^{-4} = 2{,}81 \times 10^6 \text{ N/C}$ Cevap: $\boxed{E_{\text{iç}} = 0,\quad E_{\text{dış}} = 2{,}81 \times 10^6 \text{ N/C}}$
Soru 6Silindirik Simetri (Sonsuz Çubuk)
Çizgisel yük yoğunluğu $\lambda = 2 \times 10^{-6} \text{ C/m}$ olan sonsuz uzunluktaki ince bir çubuktan radyal olarak $r = 0{,}05 \text{ m}$ uzaklıktaki elektrik alan değerini bulunuz.
Yarıçapı $R = 0{,}04 \text{ m}$, hacimsel yük yoğunluğu $\rho = 3 \times 10^{-5} \text{ C/m}^3$ olan düzgün yüklü yalıtkan sonsuz uzun bir silindirin içindeki $r = 0{,}02 \text{ m}$ noktasındaki elektrik alanını hesaplayınız.
Çözüm:
Silindirin iç bölgesinde ($r < R$) Gauss yasası uygulandığında elde edilen formül kullanılmalıdır:
$E = \dfrac{\rho r}{2\varepsilon_0}$
Verilen sabitleri yerine koyalım ($\varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12} \text{ C}^2/\text{N·m}^2$):
$E = \dfrac{3 \times 10^{-5} \times 0{,}02}{2 \times 8{,}85 \times 10^{-12}} = \dfrac{6 \times 10^{-7}}{1{,}77 \times 10^{-11}} \approx 3{,}39 \times 10^4 \text{ N/C}$ Cevap: $\boxed{E \approx 3{,}39 \times 10^4 \text{ N/C}}$
Soru 8Düzlemsel Simetri (Sonsuz Düzlem)
Yüzeyce yük yoğunluğu $\sigma = 6 \times 10^{-6} \text{ C/m}^2$ olan yalıtkan sonsuz bir düzlemin yakınında oluşturduğu elektrik alanı bulunuz.
Yüzey yük yoğunluğu $\sigma = 4 \times 10^{-6} \text{ C/m}^2$ olan geniş iletken bir levhanın dış bölgesinde meydana gelen elektrik alan şiddetini bulunuz.
Çözüm:
İletken levhaların dışındaki elektrik alan, iki yüzeydeki yük birikmesinden ötürü yalıtkan düzlemin 2 katıdır:
$E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$
Hesaplama:
$E = \dfrac{4 \times 10^{-6}}{8{,}85 \times 10^{-12}} \approx 4{,}52 \times 10^5 \text{ N/C}$ Cevap: $\boxed{E \approx 4{,}52 \times 10^5 \text{ N/C}}$
Soru 10Düzlemsel Simetri (Paralel Levhalar)
Birbirine paralel biçimde yerleştirilmiş iki iletken plaka, yüzey yük yoğunlukları $+\sigma = 7 \times 10^{-6} \text{ C/m}^2$ ve $-\sigma$ olacak şekilde zıt yüklenmiştir. Plakaların arasında oluşan net elektrik alanını hesaplayınız.
Çözüm:
Zıt yüklü paralel plakalarda dış bölgelerde alan birbirini yok ederken ($E=0$), iç bölgede alanlar aynı yönlü toplanarak tek bir levha alanı oluşturur:
$E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$
Değerleri yerine yerleştirelim:
$E = \dfrac{7 \times 10^{-6}}{8{,}85 \times 10^{-12}} \approx 7{,}91 \times 10^5 \text{ N/C}$ Cevap: $\boxed{E \approx 7{,}91 \times 10^5 \text{ N/C}}$
Soru 11Koaksiyel Kablo Simetrisi
İç silindir yarıçapı $R_1 = 0{,}01 \text{ m}$ ve dış silindirik kabuk yarıçapı $R_2 = 0{,}03 \text{ m}$ olan koaksiyel bir kablo sisteminde, iç iletken tel üzerinde $\lambda = 5 \times 10^{-6} \text{ C/m}$ çizgisel yükü bulunmaktadır. Merkez eksenden $r = 0{,}02 \text{ m}$ uzaklıktaki elektrik alanı bulunuz.
Çözüm:
İstenen nokta iki silindirin arasında yer almaktadır ($R_1 < r < R_2$). Bu bölgede sadece içteki silindirin yükü etkilidir:
$E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} = \dfrac{2k\lambda}{r}$
Sayısal verileri işleme alalım:
$E = 2 \times (9 \times 10^9) \times \dfrac{5 \times 10^{-6}}{0{,}02} = 18 \times 10^9 \times 2{,}5 \times 10^{-4} = 4{,}5 \times 10^6 \text{ N/C}$ Cevap: $\boxed{E = 4{,}5 \times 10^6 \text{ N/C}}$
Soru 12Gauss Yasası (Küresel Kabuk Yorumu)
Yarıçapı $R = 0{,}2 \text{ m}$ olan düzgün yüklü, ince, yalıtkan küresel bir kabuğun merkezinden sırasıyla $r_1 = 0{,}1 \text{ m}$ ve $r_2 = 0{,}3 \text{ m}$ uzaklıklarda ölçülen $E_1$ ve $E_2$ elektrik alan şiddetlerinin nitel kıyaslaması nasıldır?
Çözüm:
* $r_1 = 0{,}1 \text{ m} < R$ noktası küresel kabuğun içindedir. Kabuk içinde net yük hapsolmadığından Gauss yasasına göre $E_1 = 0$ olur.
* $r_2 = 0{,}3 \text{ m} > R$ noktası kabuğun dışındadır. Dış bölgede net bir elektrik alan mevcuttur ve uzaklığın karesiyle ters orantılı ($E_2 \propto \frac{1}{r^2}$) olarak azalır, yani $E_2 > 0$'dır. Cevap: $\boxed{E_1 = 0 \text{ ve } E_2 > 0}$ (İç bölgede sıfır, dış bölgede ise pozitiftir)
Soru 13Değişken Hacimsel Yük Yoğunluğu
Yarıçapı $R$ olan yalıtkan katı bir kürenin hacimsel yük yoğunluğu sabit olmayıp, merkezden olan $r$ uzaklığına bağlı olarak $\rho(r) = b \cdot r$ formülüyle değişmektedir (Burada $b$ pozitif bir sabittir). Kürenin içindeki ($r < R$) elektrik alanı veren ifadeyi bulunuz.
Çözüm:
Yük yoğunluğu homojen olmadığından, $r$ yarıçaplı Gauss küresinin içindeki yükü bulmak için kabuk integralini almalıyız:
$Q_{\text{iç}} = \int_0^r \rho(r') \cdot 4\pi (r')^2 dr' = \int_0^r (b \cdot r') \cdot 4\pi (r')^2 dr' = 4\pi b \int_0^r (r')^3 dr'$
$Q_{\text{iç}} = 4\pi b \left[ \dfrac{r^4}{4} \right] = \pi b r^4$
Yüksüz, kalın ve iletken küresel bir kabuğun tam merkezindeki boşluğa (oyuğa) $+q$ noktasal yükü yerleştirilmiştir. İletken kabuğun iç yüzeyinde ve dış yüzeyinde biriken net yük miktarlarını bulunuz.
Çözüm:
İletken malzemenin gövdesinin içinden geçen hayali bir Gauss yüzeyi çizdiğimizde, iletken içi elektrik alan sıfır ($E=0$) olmak zorundadır. Gauss yasasına göre bu kapalı yüzeyin içindeki toplam net yük sıfırlanmalıdır:
$Q_{\text{net}} = q_{\text{nokta}} + q_{\text{iç\_yüzey}} = 0 \implies +q + q_{\text{iç\_yüzey}} = 0 \implies q_{\text{iç\_yüzey}} = -q$
İletken küre başlangıçta nötr (yüksüz) olduğu için toplam yük korunmalıdır:
$Q_{\text{toplam}} = q_{\text{iç\_yüzey}} + q_{\text{dış\_yüzey}} = 0 \implies -q + q_{\text{dış\_yüzey}} = 0 \implies q_{\text{dış\_yüzey}} = +q$ Cevap: $\boxed{q_{\text{iç\_yüzey}} = -q \quad \text{ve} \quad q_{\text{dış\_yüzey}} = +q}$
Soru 15Süperpozisyon ve Düzlemsel Simetri
Birbirine paralel yerleştirilmiş sonsuz genişlikteki iki yalıtkan düzlemden soldakinin yük yoğunluğu $+2\sigma$, sağdakinin yük yoğunluğu ise $+\sigma$ kadardır. Bu iki düzlemin **arasında kalan** ara bölgedeki net elektrik alanı süperpozisyon ilkesini kullanarak bulunuz.
Çözüm:
Her bir pozitif yüklü düzlem kendisinden dışarıya (uzağa) doğru dik elektrik alan üretir.
* $+2\sigma$ yüklü düzlem, sağındaki ara bölgede sağa doğru ($\rightarrow$) bir alan oluşturur: $E_1 = \dfrac{2\sigma}{2\varepsilon_0} = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$
* $+\sigma$ yüklü düzlem ise solundaki ara bölgede sola doğru ($\leftarrow$) bir alan oluşturur: $E_2 = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$
Ara bölgede bu iki alan zıt yönlü olduğu için net alan büyük olandan küçük olan çıkarılarak bulunur (sağa doğru pozitif yön seçilirse):
$E_{\text{net}} = E_1 - E_2 = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0} - \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$
Alan yönü, baskın olan $+2\sigma$ levhasından dışarıya yani sağa doğrudur. Cevap: $\boxed{E_{\text{net}} = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}}$