Hodge Varsayımı
Hayal edemeyeceğiniz boyutlardaki geometrik şekiller — gerçek sayılarla değil, karmaşık sayılarla tanımlanmış. Bu şekillerin içindeki yapılar "geometrik" mi yoksa "cebirsel" mi? Hodge, ikisinin aynı şey olduğunu iddia etti.
cebirsel döngülerin rasyonel katsayılı lineer kombinasyonudur.
Yani: Topoloji ile cebir aynı şeyi mi görür?
Geometri ve cebir — aslında ikiz mi?
Hodge Varsayımı'nı anlamak için önce şunu kabul etmeniz gerekir: Gözlemlediğimiz 3 boyutlu dünya, matematiğin çalışabileceği tek boyutsal ortam değildir. Matematikçiler 4, 5, 10, hatta sonsuz boyutlu uzaylarla çalışır. Hodge Varsayımı bu tür karmaşık çok boyutlu yapılarla ilgilidir.
1950'de William Vallance Douglas Hodge şunu önerdi: Bu yüksek boyutlu kompleks uzaylarda, topolojik olarak fark edilebilen her yapı, cebirsel denklemlerle de ifade edilebilir. Geometrinin gözü ile cebirin kalemi aynı şeyi görür.
"Hodge Varsayımı, matematiğin en gizemli köprülerinden biridir: farklı görünen iki dil — geometri ve cebir — aslında aynı şeyi mi anlatıyor?"
— Pierre Deligne, Fields Madalyalı, 1978Bu kulağa soyut gelir — çünkü öyledir. Ama sonuçları somuttur. Fizik, dize teorisi ve kuantum alan teorisi Hodge yapılarını yoğun biçimde kullanır. Eğer Hodge Varsayımı doğruysa, evrenin matematiksel dokusunun bir parçası daha anlaşılmış olur.
Şimdiye kadar özel durumlar için kanıtlar mevcut — (1,1) sınıfları Lefschetz tarafından 1924'te kanıtlandı. Ama genel durum hâlâ derin bir gizem olarak bekliyor.
Görünmezin geometrisi.
Hodge Varsayımı belki de Millennium Problemleri arasında en az bilinenidir. Ama derinliği diğerlerinden aşağı değildir. Kanıtlanırsa, geometri ve cebir arasındaki köprü somutlaşır ve matematiğin tüm yapısı biraz daha netleşir.