🎯 AMAÇ
Her sayısal yöntemin bir kesme hatası vardır. Hata formüllerini anlamak, yeterli doğruluk için kaç aralık kullanmanız gerektiğini hesaplamanızı sağlar. Bu bölümde yamuk ve Simpson kurallarının hata terimlerini ve türev tabanlı sınırları öğreneceğiz.
📐 Genel Hata Formülü (Euler–Maclaurin)
Eşit aralıklı Newton-Cotes formülleri için hata genellikle şu formdadır:
$$ E = C \cdot h^{k} \cdot f^{(m)}(\xi) $$
$C$: yönteme bağlı sabit, $h$: adım büyüklüğü, $m$: türev mertebesi, $\xi \in [a,b]$
🔢 Yamuk Kuralı Hata Terimi
$$ E_T = -\frac{(b-a)^3}{12n^2} f''(\xi) = -\frac{h^2 (b-a)}{12} f''(\xi) $$
Burada $h = (b-a)/n$. Hatanın büyüklüğü $f''(x)$'in mutlak değerinin maksimumu ile sınırlıdır.
1
Problem
$\int_0^1 e^{-x^2} dx$ integralini yamuk kuralı ile $n=4$ için hesaplayın ve hata sınırını bulun.
2
$f''(x)$'i bul
$f(x)=e^{-x^2}$, $f'(x)=-2xe^{-x^2}$, $f''(x)=(-2+4x^2)e^{-x^2}$
3
Maksimum $|f''(x)|$
$[0,1]$ aralığında $|f''(x)|$ maksimumu $x=0$'da: $|f''(0)|=2$. $x=1$'de $|f''(1)|=|(-2+4)e^{-1}|=2/e \approx 0.736$. Maksimum $=2$.
4
Hata sınırı
$|E_T| \le \frac{(1-0)^3}{12 \cdot 4^2} \cdot 2 = \frac{1}{12 \cdot 16} \cdot 2 = \frac{2}{192} = 0.01042$
5
Gerçek hata (karşılaştırma)
Yamuk kuralı sonucu $\approx 0.7429$, gerçek değer $\approx 0.746824$, hata $\approx -0.0039$. Sınırın içinde.
📈 Simpson 1/3 Kuralı Hata Terimi
$$ E_S = -\frac{(b-a)^5}{180 n^4} f^{(4)}(\xi) = -\frac{h^4 (b-a)}{180} f^{(4)}(\xi) $$
Simpson kuralı, dördüncü türevi içerdiği için $f(x)$ üçüncü derece veya daha düşük bir polinom olduğunda hatası sıfırdır (tam sonuç verir).
1
Aynı integral $\int_0^1 e^{-x^2}dx$, $n=4$ (Simpson için $n$ çift olmalı)
$h=0.25$, Simpson sonucu $\approx 0.7468$
2
$f^{(4)}(x)$'i bul
$f^{(4)}(x) = (16x^4 - 48x^2 + 12) e^{-x^2}$ (türevleri alınabilir)
3
Maksimum $|f^{(4)}(x)|$
$[0,1]$ aralığında yaklaşık maksimum $x=0$'da: $|f^{(4)}(0)|=12$. $x=1$'de $|f^{(4)}(1)| = |(16-48+12)e^{-1}| = | -20 e^{-1}| \approx 7.357$. Maksimum $\approx 12$.
4
Hata sınırı
$|E_S| \le \frac{(1)^5}{180 \cdot 4^4} \cdot 12 = \frac{1}{180 \cdot 256} \cdot 12 = \frac{12}{46080} = 0.000260$
5
Gerçek hata
$0.746824 - 0.7468 \approx 0.000024$, sınırın çok altında.
📏 Simpson 3/8 Kuralı Hata Terimi
$$ E_{3/8} = -\frac{3(b-a)^5}{80 n^4} f^{(4)}(\xi) = -\frac{3h^4 (b-a)}{80} f^{(4)}(\xi) $$
Simpson 1/3 ile aynı $O(h^4)$ mertebesindedir; sadece katsayısı farklıdır. Çoğu durumda 1/3 tercih edilir.
| Yöntem | Hata Formülü | Mertebe ($h$ cinsinden) | Polinom tamlık derecesi |
|---|
| Yamuk | $-\frac{h^2(b-a)}{12} f''(\xi)$ | $O(h^2)$ | 1 (doğrusal polinomlar tam) |
| Simpson 1/3 | $-\frac{h^4(b-a)}{180} f^{(4)}(\xi)$ | $O(h^4)$ | 3 (kübik polinomlar tam) |
| Simpson 3/8 | $-\frac{3h^4(b-a)}{80} f^{(4)}(\xi)$ | $O(h^4)$ | 3 |
💡 ÖNEMLİ ÇIKARIMLAR
▪️ Hata, $h$ küçüldükçe azalır — $h$'yi yarıya indirmek, yamukta hatayı 4 kat, Simpson'da 16 kat azaltır.
▪️ Simpson kuralı, yamuktan çok daha hızlı yakınsar, ancak $f^{(4)}(x)$ büyükse yine hata yapabilir.
▪️ Hata sınırları genellikle gerçek hatadan daha büyüktür (en kötü durum).
▪️ Pratikte, hata tahmini için Richardson ekstrapolasyonu (bir sonraki modül) kullanılır.
1
Problem
$\int_0^2 \sin(x^2) dx$ integralini Simpson 1/3 ile $10^{-6}$ hassasiyetinde hesaplamak için kaç $n$ gerekir?
2
$f^{(4)}(x)$ sınırı
$|\sin^{(4)}(x^2)|$ için $[0,2]$'de maksimum yaklaşık $80$ civarı olur (hesaplanabilir). $|f^{(4)}(\xi)| \le 80$ alalım.
3
Hata eşitsizliği
$|E_S| \le \frac{(2)^5}{180 n^4} \cdot 80 = \frac{32 \cdot 80}{180 n^4} = \frac{2560}{180 n^4} = \frac{128}{9 n^4}$
4
$n$'i bul
$\frac{128}{9 n^4} \le 10^{-6} \implies n^4 \ge \frac{128}{9} \cdot 10^6 \approx 1.422 \cdot 10^7 \implies n \ge (1.422 \cdot 10^7)^{1/4} \approx 61.4$. $n$ çift olmalı, $n=62$ yeterlidir.
📌 NOT
Bu hata sınırları en kötü durum içindir. Çoğu zaman gerçek hata çok daha küçüktür. Bu nedenle adaptif yöntemlerde hata tahmini için farklı teknikler kullanılır.
← Ana modül sayfasına dön