Newton-Cotes Kapalı Formülleri

🎯 AMAÇ

Newton-Cotes formülleri, $[a,b]$ aralığını eşit alt aralıklara bölüp her parçada $f(x)$'i bir polinomla yaklaştırır. Bu bölümde kapalı (uç noktalar dahil) formülleri görecek, neden sadece düşük mertebelerin kullanıldığını öğreneceğiz.

📊 Genel Fikir

Newton-Cotes formülleri, $n$ eşit aralık kullanarak $f(x)$'i $n.$ dereceden bir polinomla (Lagrange interpolasyonu) yaklaştırır ve bu polinomun integralini alır. "Kapalı" ifadesi, aralığın uç noktaları $a$ ve $b$'nin de yaklaşımda kullanıldığı anlamına gelir.

$$ \int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_{i=0}^n w_i f(x_i) $$ $x_i = a + i h$, $h=(b-a)/n$, $w_i$: Newton-Cotes ağırlıkları

🔢 Düşük Mertebeden Formüller (Bilinenler)

Mertebe ($n$)	İsim	Ağırlıklar ($w_i$)	Hata Mertebesi
1	Yamuk Kuralı	$h/2,\; h/2$	$O(h^2)$
2	Simpson 1/3	$h/3,\; 4h/3,\; h/3$	$O(h^4)$
3	Simpson 3/8	$3h/8,\; 9h/8,\; 9h/8,\; 3h/8$	$O(h^4)$

⚠️ Yüksek Mertebe Sorunu: Runge Fenomeni

Yüksek dereceli polinom interpolasyonu, eşit aralıklı noktalarda uçlara doğru büyük salınımlar yapar. Bu, integral yaklaşımını da bozar. Örneğin $f(x)=1/(1+25x^2)$ fonksiyonunun $[-1,1]$ aralığında eşit aralıklarla yüksek mertebe polinomla yaklaşımı felaketle sonuçlanır.

⚠️ RUNGE FENOMENİ

Eşit aralıklı noktalarda yüksek mertebe ($n \gtrsim 7-8$) Newton-Cotes formülleri kararsızlaşır ve hatası artar. Bu nedenle pratikte sadece $n=1,2,3$ kullanılır; daha yüksek doğruluk için Gauss kuadratürü veya Romberg tercih edilir.

Örnek: Runge Fonksiyonu$ \int_{-1}^{1} \frac{1}{1+25x^2} dx$

Yamuk Kuralı ($n=2$)

$h=1$, $f(-1)=1/26\approx0.03846$, $f(0)=1$, $f(1)=0.03846$ → $1/2[0.03846 + 2(1) + 0.03846] \approx 1.03846$ (gerçek integral $\approx 0.549$ → çok hatalı)

Simpson 1/3 ($n=2$ aslında n=2 demek iki aralık değil, n=2 üç nokta)

Aynı $h=1$, aynı noktalar: $1/3[0.03846 + 4(1) + 0.03846] \approx 1.359$ — daha da kötü!

Çözüm: Çok küçük $h$ veya farklı yöntem

Bu fonksiyon için Newton-Cotes başarısız olur. Gauss kuadratürü veya adaptif yöntem gerekir.

📌 Pratikte Kullanım

Yamuk kuralı (n=1): Çok kaba bir tahmin veya periyodik fonksiyonlar için.
Simpson 1/3 (n=2): En yaygın kullanılan Newton-Cotes kuralıdır. Genellikle yeterlidir.
Simpson 3/8 (n=3): Aralık sayısı 3'ün katı değilse, son kısım için kullanılır (karma yöntem).
Daha yüksek $n$ (n=4,5,…) neredeyse hiç kullanılmaz.

📌 HATIRLATMA

Newton-Cotes formülleri, eşit aralıklı noktalarda çalışır. Aralık sayısını artırmak her zaman doğruluğu artırmaz (Runge fenomeni). Bu nedenle sayısal analizde daha ileri yöntemlere (Gauss, Romberg) ihtiyaç duyulur.

← Ana modül sayfasına dön