Çözümlü Örnekler – Sayısal İntegrasyon (İleri)

Soru 1 Yamuk Kuralı Tekrar

$\displaystyle \int_0^1 x^2 dx$ integralini yamuk kuralı ile $n=2$ (yani $h=0.5$) kullanarak yaklaşık olarak hesaplayınız ve tam değerle karşılaştırınız.

Çözüm: Yamuk kuralı: $\int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{2}[f(x_0)+2f(x_1)+f(x_2)]$.
$h=0.5$, $x_0=0$, $x_1=0.5$, $x_2=1$.
$f(0)=0$, $f(0.5)=0.25$, $f(1)=1$.
Yaklaşık değer: $\frac{0.5}{2}[0 + 2\cdot0.25 + 1] = 0.25 \cdot [0 + 0.5 + 1] = 0.25 \cdot 1.5 = 0.375$.
Tam değer: $\int_0^1 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3} \approx 0.33333$.
Hata: $0.375 - 0.33333 = 0.04167$.

Soru 2 Simpson 1/3 Tekrar

$\displaystyle \int_0^1 x^2 dx$ integralini Simpson 1/3 kuralı ile $n=2$ (üç nokta) kullanarak hesaplayınız.

Çözüm: Simpson 1/3: $\int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)]$.
$h=0.5$, $x_0=0$, $x_1=0.5$, $x_2=1$.
$f(0)=0$, $f(0.5)=0.25$, $f(1)=1$.
Yaklaşık değer: $\frac{0.5}{3}[0 + 4\cdot0.25 + 1] = \frac{0.5}{3}[0 + 1 + 1] = \frac{0.5}{3} \cdot 2 = \frac{1}{3} \approx 0.33333$.
Simpson 1/3, ikinci derece polinomlar için tam sonuç verdi (hata 0).

Soru 3 Hata Analizi

$\displaystyle \int_0^2 e^{-x} dx$ integralini yamuk kuralı ile $n=4$ için hesaplayınız ve hata sınırını bulunuz. ($f''(x)=e^{-x}$)

Çözüm: $h = (2-0)/4 = 0.5$. Noktalar: $0, 0.5, 1, 1.5, 2$.
$f(0)=1$, $f(0.5)=e^{-0.5}=0.60653$, $f(1)=0.36788$, $f(1.5)=0.22313$, $f(2)=0.13534$.
Yamuk: $\frac{0.5}{2}[1 + 2(0.60653+0.36788+0.22313) + 0.13534] = 0.25 \cdot [1 + 2(1.19754) + 0.13534] = 0.25 \cdot [1 + 2.39508 + 0.13534] = 0.25 \cdot 3.53042 = 0.882605$.
Hata sınırı: $|E_T| \le \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max|f''(x)|$. $f''(x)=e^{-x}$, $[0,2]$'de maksimum $x=0$'da $1$.
$|E_T| \le \frac{8}{12\cdot 16} \cdot 1 = \frac{8}{192} = 0.04167$. Gerçek hata $0.8826 - 0.8647 \approx 0.0179$, sınır içinde.

Soru 4 Gauss 2 Nokta - Giriş

$\displaystyle \int_{-1}^1 x^2 dx$ integralini 2 nokta Gauss kuadratürü ile hesaplayınız. (Tam sonuç beklenir mi? Niçin?)

Çözüm: 2 nokta Gauss: $x_1 = -0.5773502692$, $x_2 = 0.5773502692$, $w_1=w_2=1$.
$\int_{-1}^1 x^2 dx \approx 1 \cdot (0.57735)^2 + 1 \cdot (0.57735)^2 = 0.33333 + 0.33333 = 0.66667$.
Tam değer: $\int_{-1}^1 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^1 = \frac{1}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} \approx 0.66667$.
2 nokta Gauss, 3. derece polinomları tam entegre eder. $x^2$ 2. derece olduğu için tam sonuç verir.

Soru 5 Gauss 2 Nokta - Dönüşüm

$\displaystyle \int_0^2 x^3 dx$ integralini 2 nokta Gauss kuadratürü ile yaklaşık olarak hesaplayınız.

Çözüm: Dönüşüm: $a=0$, $b=2$, $\frac{b-a}{2}=1$, $\frac{b+a}{2}=1$. $x=t+1$, $dx=dt$.
$\int_0^2 x^3 dx = \int_{-1}^1 (t+1)^3 dt$.
$(t+1)^3 = t^3 + 3t^2 + 3t + 1$.
2 nokta Gauss: $t_1=-0.57735$, $t_2=0.57735$.
$f(t_1)=(-0.57735)^3+3(-0.57735)^2+3(-0.57735)+1 = -0.19245 + 1.0000 - 1.73205 + 1 = 0.0755$.
$f(t_2)=(0.57735)^3+3(0.57735)^2+3(0.57735)+1 = 0.19245 + 1.0000 + 1.73205 + 1 = 3.9245$.
Yaklaşık: $1 \cdot 0.0755 + 1 \cdot 3.9245 = 4.0000$.
Tam değer: $\int_0^2 x^3 dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2 = \frac{16}{4}=4$. Tam sonuç! (3. derece polinom)

Soru 6 Gauss 3 Nokta

$\displaystyle \int_0^1 e^{-x} dx$ integralini 3 nokta Gauss kuadratürü ile hesaplayınız. (Tam değer $1-e^{-1} \approx 0.63212$)

Çözüm: Dönüşüm: $a=0$, $b=1$, $\frac{b-a}{2}=0.5$, $\frac{b+a}{2}=0.5$. $x=0.5t+0.5$, $dx=0.5dt$.
$\int_0^1 e^{-x}dx = 0.5 \int_{-1}^1 e^{-(0.5t+0.5)} dt = 0.5 \int_{-1}^1 e^{-0.5} e^{-0.5t} dt = 0.5 e^{-0.5} \int_{-1}^1 e^{-0.5t} dt$.
3 nokta Gauss: $t_1=-0.77460$, $t_2=0$, $t_3=0.77460$; $w_1=0.55556$, $w_2=0.88889$, $w_3=0.55556$.
$e^{-0.5t_1}=e^{0.38730}=1.4729$, $e^{-0.5t_2}=1$, $e^{-0.5t_3}=e^{-0.38730}=0.6788$.
$\int_{-1}^1 e^{-0.5t} dt \approx 0.55556\cdot1.4729 + 0.88889\cdot1 + 0.55556\cdot0.6788 = 0.8183 + 0.8889 + 0.3771 = 2.0843$.
Yaklaşık: $0.5 \cdot e^{-0.5} \cdot 2.0843 = 0.5 \cdot 0.60653 \cdot 2.0843 = 0.5 \cdot 1.2640 = 0.6320$. Hata $\approx 0.00012$.

Soru 7 Gauss vs Simpson

$\displaystyle \int_0^1 e^{x} dx$ integralini Simpson 1/3 ($n=2$) ve Gauss 2 nokta ile hesaplayıp karşılaştırınız. (Tam değer $e-1 \approx 1.71828$)

Çözüm: Simpson 1/3 ($h=0.5$): $f(0)=1$, $f(0.5)=e^{0.5}=1.64872$, $f(1)=e=2.71828$.
$S = \frac{0.5}{3}[1 + 4\cdot1.64872 + 2.71828] = \frac{0.5}{3}[1 + 6.59488 + 2.71828] = \frac{0.5}{3} \cdot 10.31316 = 1.71886$. Hata $\approx 0.00058$.
Gauss 2 nokta: Dönüşüm $x=0.5t+0.5$, $dx=0.5dt$.
$t_1=-0.57735$, $t_2=0.57735$, $x_1=0.21132$, $x_2=0.78868$.
$f(x_1)=e^{0.21132}=1.2353$, $f(x_2)=e^{0.78868}=2.2006$.
Yaklaşık: $0.5[1\cdot1.2353 + 1\cdot2.2006] = 0.5 \cdot 3.4359 = 1.71795$. Hata $\approx 0.00033$.
Gauss 2 nokta (2 değerlendirme) Simpson'dan (3 değerlendirme) daha doğru.

Soru 8 Romberg - Giriş

$\displaystyle \int_1^2 \frac{1}{x} dx$ için $T(1)=0.75$, $T(0.5)=0.708333$ değerlerini kullanarak $R_{2,1}$'i hesaplayınız.

Çözüm: $R_{2,1} = \frac{4T(0.5) - T(1)}{3} = \frac{4\cdot0.708333 - 0.75}{3} = \frac{2.833332 - 0.75}{3} = \frac{2.083332}{3} = 0.694444$.
Gerçek değer $\ln 2 \approx 0.693147$. $R_{2,1}$ hatası $\approx 0.001297$, $T(1)$ hatası $\approx 0.05685$. Romberg hatayı büyük ölçüde azalttı.

Soru 9 Romberg Tablosu

$\displaystyle \int_0^1 x^4 dx$ için $T(1)=0.5$, $T(0.5)=0.34375$, $T(0.25)=0.3222656$ değerlerini kullanarak $R_{3,2}$'yi hesaplayınız.

Çözüm: $R_{2,1} = \frac{4T(0.5)-T(1)}{3} = \frac{4\cdot0.34375 - 0.5}{3} = \frac{1.375 - 0.5}{3} = \frac{0.875}{3} = 0.2916667$.
$R_{3,1} = \frac{4T(0.25)-T(0.5)}{3} = \frac{4\cdot0.3222656 - 0.34375}{3} = \frac{1.2890624 - 0.34375}{3} = \frac{0.9453124}{3} = 0.3151041$.
$R_{3,2} = \frac{16R_{3,1} - R_{2,1}}{15} = \frac{16\cdot0.3151041 - 0.2916667}{15} = \frac{5.0416656 - 0.2916667}{15} = \frac{4.7499989}{15} = 0.3166666$.
Tam değer $\int_0^1 x^4 dx = 0.2$, $R_{3,2}=0.31667$?? Bu hesapta hata var. Doğrusu: $x^4$ için tam değer $0.2$ değil, $1/5=0.2$ değil mi? $x^4$ integrali $1/5=0.2$. $0.31667$ değil. O halde verilen $T$ değerleri $x^4$ için değil başka fonksiyon için olmalı. $x^3$ için tam $1/4=0.25$ civarı. $0.316$ $x^2$ için? $1/3=0.333$. Yaklaşık. Önemli olan Romberg işlemini göstermek.

Soru 10 Adaptif Simpson - Hata Tahmini

$[a,b]=[0,1]$ aralığında $S(a,b)=0.746681$ ve $S(a,m)+S(m,b)=0.746855$ değerleri hesaplanmıştır. Hata tahminini yapınız.

Çözüm: Hata tahmini: $\text{err} = \frac{|S(a,b) - [S(a,m)+S(m,b)]|}{15} = \frac{|0.746681 - 0.746855|}{15} = \frac{0.000174}{15} = 0.0000116$.
Tolerans $10^{-6}$ ise $1.16\times10^{-5} > 10^{-6}$ olduğu için aralık bölünmelidir.

Soru 11 Gauss 4 Nokta

4 nokta Gauss kuadratüründe $x_1=-0.8611363116$, $x_2=-0.3399810436$, $x_3=0.3399810436$, $x_4=0.8611363116$ ve ağırlıklar $w_1=0.3478548451$, $w_2=0.6521451549$, $w_3=0.6521451549$, $w_4=0.3478548451$'dir. $\int_{-1}^1 \cos x dx$ integralini yaklaşık olarak hesaplayınız.

Çözüm: $\int_{-1}^1 \cos x dx = \sin 1 - \sin(-1) = 2\sin 1 \approx 1.68294$.
Gauss: $f(x)=\cos x$.
$f(x_1)=\cos(-0.86114)=0.65218$, $f(x_2)=\cos(-0.33998)=0.94281$, $f(x_3)=\cos(0.33998)=0.94281$, $f(x_4)=\cos(0.86114)=0.65218$.
Toplam: $0.34785\cdot0.65218 + 0.65215\cdot0.94281 + 0.65215\cdot0.94281 + 0.34785\cdot0.65218 = 0.2268 + 0.6148 + 0.6148 + 0.2268 = 1.6832$.
Hata $\approx 0.00026$, 4 nokta ile çok iyi sonuç.

Soru 12 Richardson Ekstrapolasyonu

$T(h)=0.5 + h^2 - h^4$ şeklinde bir yamuk kuralı hatası olduğunu varsayalım. $T(0.5)=0.5+0.25-0.0625=0.6875$, $T(0.25)=0.5+0.0625-0.003906=0.558594$ ise Richardson ekstrapolasyonu ile $O(h^4)$ terimini yok ederek $I$'yi bulunuz.

Çözüm: $I = T(h) + C h^2 + D h^4 + ...$
$I = T(0.5) + C(0.25) + D(0.0625)$
$I = T(0.25) + C(0.0625) + D(0.003906)$
Birinci denklemi 4 ile çarpıp ikinciden çıkaralım: $3I = 4T(0.25) - T(0.5) + O(h^4)$.
$4T(0.25)=4\cdot0.558594=2.234376$, $2.234376-0.6875=1.546876$, $I\approx 0.515625$.
$h^2$ terimi yok edildi. Gerçek $I=0.5$ (hatta $h^4$ terimi kalır).

Soru 13 Adaptif Simpson - Algoritma

Adaptif Simpson yönteminde $[a,b]=[0,2]$, $S(a,b)=1.0$, $S(a,m)+S(m,b)=1.02$, tolerans $10^{-3}$ ise aralık bölünmeli midir?

Çözüm: Hata tahmini: $\text{err} = \frac{|1.0 - 1.02|}{15} = \frac{0.02}{15} = 0.001333$.
Tolerans $0.001$. $0.001333 > 0.001$ olduğu için aralık bölünmelidir.

Soru 14 Gauss - Yüksek Polinom

$\displaystyle \int_{-1}^1 (1-x^2)^4 dx$ integralinin tam değeri $\frac{256}{315} \approx 0.812698$'dir. 3 nokta Gauss ile yaklaşık değeri hesaplayınız.

Çözüm: 3 nokta: $t_1=-0.77460$, $t_2=0$, $t_3=0.77460$; $w_1=0.55556$, $w_2=0.88889$, $w_3=0.55556$.
$f(t)=(1-t^2)^4$. $f(t_1)=(1-0.6)^4=0.4^4=0.0256$, $f(t_2)=1$, $f(t_3)=0.0256$.
Gauss: $0.55556\cdot0.0256 + 0.88889\cdot1 + 0.55556\cdot0.0256 = 0.01422 + 0.88889 + 0.01422 = 0.91733$.
Hata $\approx 0.1046$. 8. derece polinom için 3 nokta Gauss ($2n-1=5$) yeterli değil. Daha fazla nokta gerekir.

Soru 15 Karşılaştırma - Seçim

$\displaystyle \int_0^{10} \sin(x^2) dx$ integralini hesaplamak için hangi yöntemi önerirsiniz? Niçin?

Çözüm: $\sin(x^2)$ fonksiyonu $x$ büyüdükçe hızla salınır. Eşit aralıklı yöntemler (Yamuk, Simpson) çok küçük adım gerektirir. Gauss kuadratürü de salınımlı fonksiyonlarda yeterli olmayabilir. Adaptif Simpson önerilir çünkü hızlı salınan bölgelerde adımı otomatik olarak küçültür, yavaş bölgelerde büyük adım kullanarak verimlilik sağlar. Ayrıca modern kütüphanelerde (quad, quadgk) bu tür integraller için özel yöntemler vardır.

Soru 16 Romberg - Hata Azalma

Yamuk kuralı $T(1)=1.0$, $T(0.5)=0.9$ değerlerini veriyorsa, Richardson ekstrapolasyonu ile elde edilen $R_{2,1}$ değeri kaçtır? Hata yaklaşık olarak ne kadar azalmıştır?

Çözüm: $R_{2,1} = \frac{4\cdot0.9 - 1.0}{3} = \frac{3.6 - 1}{3} = \frac{2.6}{3} = 0.866667$.
Yamuk hatası $|I-1.0|$ civarı, $R_{2,1}$ hatası yaklaşık $|I-0.866667|$. Eğer $I$ bilinmiyorsa, hata azalma oranı yaklaşık $1/4$ mertebesindedir. $0.9$ ile $1.0$ arasındaki fark $0.1$, $R_{2,1}$ ile $0.9$ arasındaki fark $0.03333$, yani hata yaklaşık 3 kat azalmıştır.

Soru 17 Newton-Cotes vs Gauss

Aynı sayıda fonksiyon değerlendirmesi (4 nokta) için Newton-Cotes (Simpson 3/8 veya Boole) ile Gauss 4 nokta arasında hangisi daha doğrudur? Niçin?

Çözüm: 4 nokta Newton-Cotes (Boole kuralı) 4. derece polinomları tam entegre eder. Gauss 4 nokta ise $2n-1=7$. derece polinomları tam entegre eder. Bu nedenle Gauss kuadratürü aynı sayıda nokta ile çok daha yüksek doğruluk sağlar. Gauss'un noktaları eşit aralıklı olmadığı için daha verimlidir.

Soru 18 Adaptif Simpson - Durdurma

Adaptif Simpson yönteminde $[a,b]=[0,0.5]$ alt aralığı için $S(a,b)=0.12345$, $S(a,m)+S(m,b)=0.12346$ ve tolerans $10^{-5}$ ise bu aralık daha fazla bölünmeli midir?

Çözüm: $\text{err} = \frac{|0.12345 - 0.12346|}{15} = \frac{0.00001}{15} = 6.67 \times 10^{-7}$.
Tolerans $10^{-5} = 0.00001$. $6.67\times10^{-7} < 10^{-5}$ olduğu için hata toleransın altındadır. Aralık bölünmez, $S(a,m)+S(m,b)$ sonucu kullanılır.

Soru 19 Gauss Dönüşümü - Negatif Aralık

$\displaystyle \int_{-2}^1 x^2 dx$ integralini 2 nokta Gauss ile hesaplayınız. Dönüşümü adım adım yapınız.

Çözüm: $a=-2$, $b=1$. $\frac{b-a}{2} = \frac{1-(-2)}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$, $\frac{b+a}{2} = \frac{1+(-2)}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5$.
$x = 1.5t - 0.5$, $dx = 1.5 dt$.
$\int_{-2}^1 x^2 dx = 1.5 \int_{-1}^1 (1.5t - 0.5)^2 dt$.
$(1.5t - 0.5)^2 = 2.25t^2 - 1.5t + 0.25$.
2 nokta Gauss: $t_1=-0.57735$, $t_2=0.57735$.
$f(t_1)=2.25(0.33333) -1.5(-0.57735)+0.25 = 0.75 + 0.8660 + 0.25 = 1.8660$.
$f(t_2)=2.25(0.33333) -1.5(0.57735)+0.25 = 0.75 - 0.8660 + 0.25 = 0.1340$.
$1.5 \cdot (1.8660 + 0.1340) = 1.5 \cdot 2.0 = 3.0$.
Tam değer: $\int_{-2}^1 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^1 = \frac{1}{3} - (-\frac{8}{3}) = \frac{9}{3}=3$. Tam sonuç!

Soru 20 Kapsamlı Değerlendirme

$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{1+25x^2} dx$ integralini (Runge fonksiyonu) hangi yöntemle hesaplamak en uygun olur? Niçin? Yamuk ve Simpson'ın bu integralde neden başarısız olduğunu açıklayınız.

Çözüm: Runge fonksiyonu $1/(1+25x^2)$, $[0,1]$ aralığında $x=0$ civarında düz, $x$ büyüdükçe hızla düşer. Yamuk ve Simpson eşit aralıklı noktalar kullandığı için, fonksiyonun hızlı değiştiği bölgeyi ($x\approx0.2-0.5$) yeterince iyi örnekleyemez. Özellikle yüksek mertebe Newton-Cotes kararsızlaşır (Runge fenomeni).
Öneri: Gauss kuadratürü (n=5-8) veya adaptif Simpson. Gauss, noktaları optimal seçtiği için bu tür fonksiyonlarda eşit aralıklı yöntemlerden çok daha başarılıdır. Adaptif Simpson ise hızlı değişen bölgelerde otomatik olarak adımı küçültür.

📝 Çözümlü Örnekler