SORU-10
Akı İntegrali (Fluks) Hesaplama — Silindir
Aşağıdaki akı integralini hesaplayınız:
$$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$$
▸
Vektör Alanı $\mathbf{F}$:
$$\mathbf{F}(x,y,z) = x^2\,\mathbf{i} + 2z\,\mathbf{j} - 3y\,\mathbf{k}$$
▸
Yüzey $S$: $y^2 + z^2 = 4$ silindirinin $x = 0$ ve $x = 3 - z$ düzlemleri arasında kalan kısmıdır.
▸
Yönelim (Oryantasyon): Dışa doğrudur — yani $x$-ekseninden uzağa (silindir ekseninden dışa).
📐 Bilinmesi Gereken Kural
Silindir Yüzeylerinde Parametrik Akı İntegrali
$y^2 + z^2 = R^2$ silindiri için standart parametrizasyon:
$$\mathbf{r}(\theta, x) = (x,\; R\cos\theta,\; R\sin\theta), \quad \theta\in[0,2\pi],\; x\in[x_1(\theta), x_2(\theta)]$$
Dışa bakan (silindir ekseninden uzak) yüzey elemanı:
$$d\mathbf{S} = \mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_x \;\text{ (işarete dikkat)} \quad\longrightarrow\quad (0,\; R\cos\theta,\; R\sin\theta)\,d\theta\,dx$$
Genel formül: $\displaystyle\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \int_0^{2\pi}\int_{x_1(\theta)}^{x_2(\theta)} \mathbf{F}(\mathbf{r}(\theta,x))\cdot(0, R\cos\theta, R\sin\theta)\;dx\;d\theta$
💡 Strateji
$y^2+z^2=4$ silindiri $R=2$ yarıçaplıdır; $x$-ekseni boyunca uzanır. $x = 0$ sabit düzlem, $x = 3-z = 3-2\sin\theta$ değişken üst sınır oluşturur. Nokta çarpımı hesaplayınca $x^2$ içeren bileşen sıfırlanır; geriye yalnızca $\sin\theta\cos\theta$ içeren trigonometrik ifadeler kalır. Bu ifadeler tam periyot üzerinde sıfıra integrallenirler — sonuç ilginç biçimde sıfırdır!
⚠ Dışa Bakan Normal — Çapraz Çarpım Yönü
$\mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_\theta = (0, -R\cos\theta, -R\sin\theta)$ içe bakar (eksene doğru). Dışa bakan normal için sırayı ters çeviririz: $\mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_x = (0, R\cos\theta, R\sin\theta)$. Bileşenlerin işaretini kontrol edin: $y$-bileşeni $R\cos\theta$, $z$-bileşeni $R\sin\theta$ — bu $y=R\cos\theta, z=R\sin\theta$ ile aynı yönde, yani gerçekten dışa bakmaktadır. ✓
ÇÖZÜM ADIMLARI
1
ADIM 1 — Silindiri Parametrize Et
$y^2+z^2=4$, $R=2$. Parametrizasyon:
$$\mathbf{r}(\theta,x) = \bigl(x,\; 2\cos\theta,\; 2\sin\theta\bigr), \quad \theta\in[0,2\pi]$$
$x$ sınırları: alt sınır $x=0$, üst sınır $x=3-z=3-2\sin\theta$:
$$0 \;\leq\; x \;\leq\; 3 - 2\sin\theta$$
$y^2+z^2=4$ Silindiri · $x=0$'dan $x=3-z$'ye · Dışa bakan normal
2
ADIM 2 — Dışa Bakan Yüzey Elemanını Hesapla
Kısmi türevler:
$$\mathbf{r}_\theta = (0,\; -2\sin\theta,\; 2\cos\theta), \qquad \mathbf{r}_x = (1,\; 0,\; 0)$$
Dışa bakan çapraz çarpım $\mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_x$:
$$\mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_x = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ 0 & -2\sin\theta & 2\cos\theta \\ 1 & 0 & 0\end{vmatrix}$$
$$= \mathbf{i}[(-2\sin\theta)(0)-(2\cos\theta)(0)] - \mathbf{j}[(0)(0)-(2\cos\theta)(1)] + \mathbf{k}[(0)(0)-(-2\sin\theta)(1)]$$
$$d\mathbf{S} = (0,\; 2\cos\theta,\; 2\sin\theta)\,d\theta\,dx$$
$y$-bileşeni $2\cos\theta > 0$ olduğunda dışa bakar ✓ (silindirin üst yarısında $y=2\cos\theta>0$ ise normal de dışa, yani $+y$ yönünde bakar)
3
ADIM 3 — $\mathbf{F}$'yi Parametrik Yüzeyde Değerlendir
$\mathbf{r}(\theta,x) = (x, 2\cos\theta, 2\sin\theta)$ noktasında $\mathbf{F} = (x^2, 2z, -3y)$:
| $x$-bileşen | $x^2$ |
| $y$-bileşen ($2z$) | $2(2\sin\theta) = 4\sin\theta$ |
| $z$-bileşen ($-3y$) | $-3(2\cos\theta) = -6\cos\theta$ |
| $\mathbf{F}\big|_S$ | $(x^2,\; 4\sin\theta,\; -6\cos\theta)$ |
4
ADIM 4 — Nokta Çarpımı Hesapla
$\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \mathbf{F}\cdot(0,\, 2\cos\theta,\, 2\sin\theta)\,d\theta\,dx$:
$$\mathbf{F}\cdot(0,\, 2\cos\theta,\, 2\sin\theta) = x^2\cdot 0 + 4\sin\theta\cdot 2\cos\theta + (-6\cos\theta)\cdot 2\sin\theta$$
$$= 0 + 8\sin\theta\cos\theta - 12\sin\theta\cos\theta = -4\sin\theta\cos\theta$$
$$= -2\sin 2\theta$$
$x^2$ bileşeni sıfırlandı (çünkü $d\mathbf{S}$'nin $x$-bileşeni sıfır). Geriye yalnızca $-2\sin2\theta$ kaldı.
5
ADIM 5 — İç İntegrali Hesapla ($x$'e Göre)
Tam integral:
$$\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \int_0^{2\pi}\int_0^{3-2\sin\theta}(-2\sin 2\theta)\;dx\;d\theta$$
İç integral ($x$'e göre, $\theta$ sabittir):
$$\int_0^{3-2\sin\theta}(-2\sin 2\theta)\;dx = (-2\sin 2\theta)\cdot\bigl[x\bigr]_0^{3-2\sin\theta} = -2\sin 2\theta\cdot(3-2\sin\theta)$$
Açalım ($\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ kullanarak):
$$= -6\sin 2\theta + 4\sin 2\theta\cdot\sin\theta = -6\sin 2\theta + 8\sin^2\theta\cos\theta$$
6
ADIM 6 — Dış İntegrali Hesapla ($\theta$'ya Göre)
İki parçaya ayıralım:
$$\int_0^{2\pi}\bigl(-6\sin 2\theta + 8\sin^2\theta\cos\theta\bigr)\;d\theta = \underbrace{\int_0^{2\pi}-6\sin 2\theta\;d\theta}_{I_1} + \underbrace{\int_0^{2\pi}8\sin^2\theta\cos\theta\;d\theta}_{I_2}$$
$I_1$ hesabı:
$$I_1 = -6\int_0^{2\pi}\sin 2\theta\;d\theta = -6\left[-\frac{\cos 2\theta}{2}\right]_0^{2\pi} = -6\cdot\frac{-1+1}{2} = 0$$
$\sin 2\theta$ tam periyot üzerinde integrallenince sıfır verir.
$I_2$ hesabı: $u=\sin\theta$ ikamesi ile $du=\cos\theta\,d\theta$:
$$I_2 = 8\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\cos\theta\;d\theta = 8\left[\frac{\sin^3\theta}{3}\right]_0^{2\pi} = 8\cdot\frac{0-0}{3} = 0$$
$\sin(2\pi)=0$ ve $\sin(0)=0$ olduğundan bu da sıfır.
Her iki trigonometrik integral de $[0, 2\pi]$ tam periyodunda sıfır çıktı. Bu rastlantı değil — $\sin 2\theta$ ve $\sin^2\theta\cos\theta$ fonksiyonları tam çevrim üzerinde simetrik olarak sıfırlanır.
$$I_1 + I_2 = 0 + 0 = 0$$
✓ Sonuç
$$\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = 0$$
Nokta çarpımı $-2\sin2\theta$ ile $x$ için $(3-2\sin\theta)$ çarpımından oluşan iki parçanın $[0,2\pi]$ üzerindeki integrali tam periyot simetrisi sayesinde sıfır verdi. $x^2$ bileşeni ise normal vektörün $x$-bileşeninin sıfır olması nedeniyle baştan elendi. ✓