SORU-11
Akı İntegrali (Fluks) Hesaplama — Küre Sekizde Parçası
Aşağıdaki akı integralini hesaplayınız:
$$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$$
▸
Vektör Alanı $\mathbf{F}$:
$$\mathbf{F}(x,y,z) = \mathbf{i} + z\,\mathbf{j} + 6x\,\mathbf{k}$$
▸
Yüzey $S$: Yarıçapı $3$ olan $x^2+y^2+z^2=9$ küresinin $x \leq 0$, $y \geq 0$ ve $z \geq 0$ koşullarını sağlayan kısmıdır (kürenin bir sekizde birlik parçası).
▸
Yönelim (Oryantasyon): İçe doğrudur — yani orijine doğru.
📐 Bilinmesi Gereken Kural
Diverjans Teoremi ile Kapalı Olmayan Yüzey İntegrali
Kapalı hacim $V$'yi sınırlayan $\partial V$ yüzeyi için Diverjans Teoremi:
$$\unicode{x222F}_{\partial V} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}_{\text{dış}}\;d\sigma = \iiint_V \operatorname{div}\mathbf{F}\;dV$$
Kapalı olmayan yüzeyler için strateji: yüzeyi tamamlayıcı parçalarla kapalı hale getir, ardından kapalı yüzey integralini parçalara böl. $\operatorname{div}\mathbf{F}=0$ ise kapalı integral sıfır olur ve aradığımız integral diğer parçaların negatifine eşit olur.
💡 Strateji
$\operatorname{div}\mathbf{F} = \partial(1)/\partial x + \partial(z)/\partial y + \partial(6x)/\partial z = 0$ — mükemmel! Kürenin sekizde parçası $S_1$'i üç koordinat düzlemindeki çeyrek diskler ($S_2$, $S_3$, $S_4$) ile kapatalım. Kapalı integral sıfır olduğundan $S_1$'deki (dışa bakan) integral, diğer üç parçanın integralinin eksi toplamına eşittir. Disk integralleri son derece kolaydır — her birinde integrand ya sabit kalır ya da polar koordinatla anında hesaplanır.
⚠ İçe / Dışa Normal — İşaret Dönüşümü
Diverjans Teoremi dışa bakan normal ile çalışır. Soruda $S_1$ için içe bakan normal istenmiştir. Bu nedenle:
$$\iint_{S_1,\,\text{içe}} = -\iint_{S_1,\,\text{dışa}}$$
Diverjans Teoreminden $\iint_{S_1,\,\text{dışa}} + \iint_{S_2} + \iint_{S_3} + \iint_{S_4} = 0$ elde ederiz; buradan $\iint_{S_1,\,\text{içe}} = \iint_{S_2} + \iint_{S_3} + \iint_{S_4}$ bulunur.
ÇÖZÜM ADIMLARI
1
ADIM 1 — Diverjansı Hesapla
$\mathbf{F} = (1,\; z,\; 6x)$ için:
$$\operatorname{div}\mathbf{F} = \frac{\partial(1)}{\partial x} + \frac{\partial(z)}{\partial y} + \frac{\partial(6x)}{\partial z} = 0 + 0 + 0 = \mathbf{0}$$
Diverjans sıfır — Diverjans Teoremi ideal biçimde uygulanabilir.
2
ADIM 2 — Kapalı Yüzeyi Oluştur
$S_1$ ($x\leq 0$, $y\geq 0$, $z\geq 0$ bölgesindeki küre parçası) kapalı değildir. Üç koordinat düzlemindeki çeyrek disklerle tamamlayalım:
Kapalı yüzey: $S_1$ (küre parçası) $+$ $S_2$ $+$ $S_3$ $+$ $S_4$ (koordinat düzlemi diskleri)
| Yüzey | Tanım | Bölge | Dışa Normal |
|---|---|---|---|
| $S_1$ | Küre $x^2+y^2+z^2=9$ | $x\leq0,\;y\geq0,\;z\geq0$ | dışa (orijinden uzak) |
| $S_2$ | $x=0$ çeyrek disk | $y^2+z^2\leq9,\;y\geq0,z\geq0$ | $+\mathbf{i} = (1,0,0)$ |
| $S_3$ | $y=0$ çeyrek disk | $x^2+z^2\leq9,\;x\leq0,z\geq0$ | $-\mathbf{j} = (0,-1,0)$ |
| $S_4$ | $z=0$ çeyrek disk | $x^2+y^2\leq9,\;x\leq0,y\geq0$ | $-\mathbf{k} = (0,0,-1)$ |
3
ADIM 3 — Diverjans Teoremini Uygula
$\operatorname{div}\mathbf{F}=0$ olduğundan kapalı yüzey integrali sıfır:
$$\iint_{S_1,\text{dışa}} + \iint_{S_2} + \iint_{S_3} + \iint_{S_4} = \iiint_V 0\;dV = 0$$
$S_1$'in içe bakan integralini bulmak istiyoruz:
$$\iint_{S_1,\text{içe}} = -\iint_{S_1,\text{dışa}}$$
$$\therefore\quad \iint_{S_1,\text{içe}} = \iint_{S_2} + \iint_{S_3} + \iint_{S_4}$$
4
ADIM 4 — $S_2$ İntegralini Hesapla ($x=0$ Diski)
$S_2$: $x=0$, $y^2+z^2\leq 9$, $y\geq 0$, $z\geq 0$ (I. çeyrek çeyrek disk). Dışa normal $\mathbf{n}_2=(1,0,0)$.
$$\mathbf{F}\big|_{x=0}\cdot\mathbf{n}_2 = (1,\;z,\;0)\cdot(1,0,0) = 1$$
$x=0$'da $\mathbf{F}=(1,z,6\cdot0)=(1,z,0)$; nokta çarpım sabit $1$. Çeyrek dairenin alanı $\pi R^2/4 = 9\pi/4$:
$$\iint_{S_2} 1\;dA = \frac{9\pi}{4}$$
5
ADIM 5 — $S_3$ İntegralini Hesapla ($y=0$ Diski)
$S_3$: $y=0$, $x^2+z^2\leq 9$, $x\leq 0$, $z\geq 0$. Dışa normal $\mathbf{n}_3=(0,-1,0)$.
$$\mathbf{F}\big|_{y=0}\cdot\mathbf{n}_3 = (1,\;z,\;6x)\cdot(0,-1,0) = -z$$
$xz$-düzleminde $x\leq0$, $z\geq0$ çeyreğinde polar koordinat: $x = r\cos\theta$, $z = r\sin\theta$, $\theta\in[\pi/2,\,\pi]$, $r\in[0,3]$:
$$\iint_{S_3}(-z)\;dA = \int_{\pi/2}^{\pi}\int_0^3 -(r\sin\theta)\cdot r\;dr\;d\theta$$
$$= -\int_{\pi/2}^{\pi}\sin\theta\;d\theta \cdot \int_0^3 r^2\;dr = -\bigl[-\cos\theta\bigr]_{\pi/2}^{\pi}\cdot\left[\frac{r^3}{3}\right]_0^3$$
$$= -\bigl(-\cos\pi + \cos\tfrac{\pi}{2}\bigr)\cdot 9 = -\bigl(1 + 0\bigr)\cdot 9 = -9$$
6
ADIM 6 — $S_4$ İntegralini Hesapla ($z=0$ Diski)
$S_4$: $z=0$, $x^2+y^2\leq 9$, $x\leq 0$, $y\geq 0$. Dışa normal $\mathbf{n}_4=(0,0,-1)$.
$$\mathbf{F}\big|_{z=0}\cdot\mathbf{n}_4 = (1,\;0,\;6x)\cdot(0,0,-1) = -6x$$
$xy$-düzleminde $x\leq0$, $y\geq0$ çeyreğinde polar: $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, $\theta\in[\pi/2,\pi]$, $r\in[0,3]$:
$$\iint_{S_4}(-6x)\;dA = -6\int_{\pi/2}^{\pi}\int_0^3 (r\cos\theta)\cdot r\;dr\;d\theta$$
$$= -6\int_{\pi/2}^{\pi}\cos\theta\;d\theta\cdot\int_0^3 r^2\;dr = -6\,\bigl[\sin\theta\bigr]_{\pi/2}^{\pi}\cdot 9$$
$$= -6\,(\sin\pi - \sin\tfrac{\pi}{2})\cdot 9 = -6\,(0-1)\cdot 9 = 54$$
7
ADIM 7 — Sonuçları Topla
3. Adımdaki eşitliğe bulduğumuz değerleri koyalım:
S₂ (x=0 diski)
$\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = 1 \;\Rightarrow\; \displaystyle\iint_{S_2} = \dfrac{9\pi}{4}$
S₃ (y=0 diski)
$\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = -z \;\Rightarrow\; \displaystyle\iint_{S_3} = -9$
S₄ (z=0 diski)
$\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = -6x \;\Rightarrow\; \displaystyle\iint_{S_4} = 54$
▶ TOPLAM
$$\iint_{S_1,\text{içe}} = \frac{9\pi}{4} + (-9) + 54 = \frac{9\pi}{4} + 45$$
✓ Sonuç
$$\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \frac{9\pi}{4} + 45$$
$\operatorname{div}\mathbf{F}=0$ olduğundan Diverjans Teoremi ile kapalı integral sıfır oldu. Üç koordinat düzlemi diski üzerindeki integrallar:
$S_2 \to \tfrac{9\pi}{4}$, $S_3 \to -9$, $S_4 \to 54$.
Toplamları aradığımız içe bakan akıyı $\dfrac{9\pi}{4}+45$ olarak verdi. ✓